Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

472 Die Funktionen endlicher Variation.
Sei endlich 92 eine beliebige Menge aus @. Es gibt dann
Folgen {Qn}, {~n}, {sn)'} offener, 1 enthaltender Mengen, so daß:
(9, f)= lim Z (Z' fi); ( f2)- = limn (),' f');
n= - oo n-= oo
z(, fl + f2)= lim (, f f2)*
n= -0
Setzen wir:
s2, =- )U~n n n) i
so ist offenbar:
7(91, fi)-lim (D,~ fl); Z(91, f)=lim (,~ f-2);
n= o n= oo
((91, 1 + f 2)= linm (1 - f+ ).
n%= o
Da für jedes ~D (xx) gilt, folgt hieraus:
- O fl + 2)<^( fl)+.-f2)1
und Satz VIII ist bewiesen.
Satz IX. Ist a (Q,f1) und.(x, f2) endlich, so ist:
(xxx) 8(,f fi + f2)== (f, fl) + Ö(, f2).
In der Tat, ist 0 eine offene Menge, so gibt es, wie der beim
Beweise von Satz III und Satz VIII angewandte Schluß zeigt, in 0
eine Folge {,} von Intervallsystemen, so daß:
n(, f)=-lim P(,n fl); n(S, f,)=lim P(~, f,);
n?= Co n= o
( l, f2 l- f. ) —lim P(@,., f, -+ f');,n= xt
~(0, fi): lim N(~, fj); V(, f) —lim N((~, f.);
y(C, fi + f2)= ]lim N(,n, fi + f,).
n — = oo
Daraus folgt durch Subtraktion vermöge (6), S. 467:
0(0, f,)=lim A (~, f,); 6(0, f,)-=lim A (@,n f.);
n= oo n= oo
0 (, fi+,)== lim A (,, f f+ ),
n= co
und da offenbar:
d (Bl, f1 + f2) — (, fi) + A ( f2)
ist, so haben wir für jede offene Menge Z:
(5x) ((', l + f2)= (), fi) + (, f).
Ist nun 91 eine beliebige Menge, so gibt es eine Folge {)n}
offener 91 enthaltender Mengen, so daß: