Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VII, ~ 1. Absolutzuwachs, Positivzuwachs usw. 471
eine in 9. enthaltene a-Vereinigung 58, so daß:
(f)=a(^)=c (%).
Daraus folgt:
a (5) - 8)= 0,
und somit:
~(c)-SS)=0; y(c)-~)=0.
Wegen S-< 9f-<I folgt daraus weiter:
7 (T)= (%)= 7 (x); (Z)= (g)= (
und somit auch:
6 ())= 6 (()= 6 (2)).
Damit ist Satz VII bewiesen.
Satz VIII. Sind f. und f2 definiert und endlich in der
offenen Menge 6 des ~9,k so ist für jede Punktmenge 9X
aus (:
a 2f fi + f i) }5: a (X5 fl a (X, f2);
(X. fi + f2) < (Q, fi)+c (x., f2);,(2f, f1+ f2)~ <v (X, fb)+ v (S, f2).
In der Tat, es wird genügen, die Ungleichung für n.zu beweisen; ebenso beweist man dann die für v, woraus die für a folgt.
Kehren wir zurück zur Bezeichnungsweise (5), S. 467, so ist
offenbar stets:
P (,, fi + f2)<P(Z, f,)+ p (, f2).
Daher gilt für jedes Intervallsystem (3 aus (:
(x) P(, f, + f,)<P(~, f,)+ P(, f).
Sei ~ eine offene Menge aus (. Dann gibt es in ~ Folgen
{'n}, { ~'}, {~} endlicher Intervallsysteme, so daß
n(~, f,)-=lim P(~n, fx); ~(~, f) —lim P(',, f,);
"(~, fl + f2) = Hm. fi + ~).
n - Co
Wie beim Beweise von Satz III leitet man daraus Intervallsysteme
~. her, für die:
( l, f,)=lim P(~,, f,); n(~, f,)=lim P(Z~ f,);
n=O no == co
O l, r+ - f2)= ^ lim z(n, l +/fl),
so daß aus (x) folgt:
(x x) 0 ^ fi + f") < fi)-