Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

470 Die Funktionen endlicher Variation.
Wegen (0) kann also, da n(Wf) und r(f) endlich sind, (000) nur
dann gelten, wenn (00) gilt, d. h. es ist die Menge DZ a-meßbar nur
dann, wenn sie sowohl a-meßbar als auch v-meßbar ist. Damit ist
Satz IV bewiesen.
Wir nennen die a-meßbaren (und somit auch -meßbaren und,-meßbaren) Mengen aus O auch f-meßbar. Ist 9X f-meßbar, so
nennen wir oa(t), n(9), v(2) auch Absolutzuwachs, Positivzuwachs, Negativzuwachs von f auf if.
Da nach Satz II a eine Inhaltsfunktion, und mithin (Kap. VI,
~ 7, Satz I) auch eine reguläre Maßfunktion ist, können wir den Satz
aussprechen (Kap. VI, ~ 6, Satz II):
Satz V. Ist f definiert und endlich in der offenen Punktmenge ( des 9k, so bilden die f-meßbaren Mengen einen alle
Borelsehen Mengen aus ~ enthaltenden o-Körper, in dem
Absolutzuwachs, Positivzuwachs, Negativzuwachs von f
absolut-additiv sind.
Sei 9 eine beliebige Punktmenge aus ~, für die mindestens
eine der beiden Zahlen n(Sf) und v(%) endlich istl). Wir setzen:
6 () -= ) (S) v (OX),
und nennen diese Größe den äußeren Zuwachs von f auf 9I, oder
wenn 9 f meßbar ist, kurz: den Zuwachs von f auf If. Wir
können dann sofort den Satz aussprechen:
Satz VI. Ist der äußere Absolutzuwachs a(e) von f auf
3 endlich, so ist der Zuwachs ö(i) von f absolut-additiv
im o-Körper aller f-meßbaren Teile von B8.
Wir sprechen noch den Satz aus:
Satz VII. Ist 2 f-meßbar und a(9) endlich, so gibt es
einen If enthaltenden o-Durchschnitt 5 und eine in 9 enthaltene a-Vereinigung SS, so daß:
n (W)-= n ()-=n ($); t (W)-= (2) = v ($);
cc W)= cr () a (S); S (9) = 6 (a) = (().
In der Tat, da f f-meßbar, d. h. a-meßbar ist, so ist, wenn
a, das zu a gehörige innere Maß bezeichnet, nach Kap. VI, ~ 6,
Satz IX:
x* (v) =a( ),
und da nach Satz II a eine Inhaltsfunktion ist, folgt aus Kap. VI, ~ 7
Satz II, III: Es gibt einen 9 enthaltenden o-Durchschnitt 5 und
1) Nach Satz III ist das sicher der Fall, wenn a (X() endlich ist.