Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

36 Die reellen Zahlen.
(p, a], sei es zu jedem Intervalle [a, q), unendlich viele
Zahlen von vo (unendlich viele Glieder von {a"}) gehören').
Die Bedingung ist notwendig, denn ist a Häufungswert von
f, so gibt es in % einen abzählbaren Teil a,', a,.., a',..., so
daß
lima ' a.
t= o0
Dann gilt, wenn p <a:
a,'>p für fast alle n;
wenn q >a:
a'< q für fast alle n.
Gibt es also ein Intervall (p, a], das nur endlich viele an' enthält (oder gibt es kein Intervall (p, a]), so muß jedes Intervall
[a, q) unendlich viele an' enthalten, womit die Behauptung bewiesen ist.
Die Bedingung ist hinreichend. Angenommen in der Tat, es
enthalte etwa jedes Intervall (p, a] unendlich viele Zahlen aus [2).
Sei {p } eine stets wachsende Zahlenfolge mit:
(0) limp, = a (i < a).
n=oo
Dann gibt es in (p1, a) einen Punkt al' von 2i, im Durchschnitt von (a ', a) und (p2, a) gibt es einen Punkt aß' von t1, allgemein, wenn a.i_ < a gebildet ist, gibt es im Durchschnitte von
(a,-l,a) und (p., a) einen Punkt an von 2f. Aus (0) folgt:
lim a'= a,
also ist a Häufungspunkt von W9, und Satz I ist (für Zahlenmengen)
bewiesen. Analog verläuft der Beweis für Zahlenfolgen.
Satz II. Jede unendliche Zahlenmenge (Zahlenfolge)
besitzt mindestens einen Häufungswert.
Es genügt, den Beweis für Zahlenfolgen zu führen. Denn jede
unendliche Zahlenmenge SJ besitzt (~ 2, Satz III) einen abzählbarunendlichen Teil ai, a~,..., a",...; und dann ist (da diese a, alle
untereinander verschieden sind) jeder Häufungswert von {an} auch
ein Häufungswert von f.
1) Ist a ==+oo, gibt es keine Intervalle [a, q); ist a=- oo, gibt es
keine Intervalle (p, a], so daß im ersten (zweiten) Falle unsere Bedingung
besagt: Jedes Intervall (p, +-oo] (jedes Intervall [-oo, q)) enthält unendlich viele Zahlen aus 9i. Ist a endlich, so besagt unsere Bedingung: jedes a
enthaltende Intervall (p, q) enthält unendlich viele Zahlen aus 9(.
2) Wie der Beweis zeigt, genügt es zu wissen, daß jedes Intervall (p, a)
mindestens eine Zahl aus 9 enthält.