Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

468 Die Funktionen endlicher Variation.
so besitzen die so definierten Mengenfunktionen a (), r (0), v (0)
die Eigenschaften 1., 2., 3., 4. von Satz VI in Kap. VI, ~ 7. Es
können also ca(0), z (0), v (0) erweitert werden zu Inhaltsfunktionen
a (Qf), r (W), (v)1), die für alle Teilmengen 2 von (M definiert sind.
Wir bezeichnen sie als den äußeren Absolutzuwachs, den äußeren
Positivzuwachs, den äußeren Negativzuwachs von f auf f,
und können den-Satz aussprechen:
Satz II. Ist die Funktion f definiert und endlich in
der offenen Punktmenge ( des k', so sind ihr äußerer Absolutzuwachs, Positivzuwachs, Negativzuwachs Inhaltsfunktionen, die für alle Punktmengen aus (M definiert
sind.
Zwischen den Funktionen a ( 9), r (9l), v (S) besteht folgender
Zusammenhang:
Satz III. Für jede Punktmenge 2I aus @ ist:
(*) c ()-= n (g)+ v (g).
Wir. beweisen die Gleichung (*) zunächst für alle offenen
Mengen 0 aus 2. Wegen (6) wird es genügen, nachzuweisen: Es
gibt in D eine Folge endlicher Intervallsysteme {(,}, so daß:
(**) a () - lim A ((); (S))=limP(en); v (S)) lim N(Q ).
n=oo n=ao rn=~o
Nach Definition sind a (Z), n ()), v (S) die oberen Schranken von
A((), P(3), N(() für alle möglichen endlichen Intervallsysteme,
aus ~. Es gibt also Folgen {(n}, {(5}, {fn} solcher Intervallsysteme, so daß:
(***) a (D) lim A (G'); n (~) = lim P (cn'); v (0) lim N ( "').
_=00 n-=-oo nn= o
Ersetzt man nötigenfalls die Intervalle von En, G(, ~n' durch geeignete Zerlegungssysteme (wodurch sie in die Intervallsysteme
n n n? ct übergehen mögen), so gibt es ein System (1, derart,
daß jedes Intervall von (n, von Ge, von f(3' auch zugleich Intervall
von (n ist. Nach Satz I ist dann:
(***) A((n) A (~); P( \)n P (n); N(^) (~ )
Und da a()),z (~), (!) die oberen Schranken aller A (), P(G),
N(() sind, folgen aus (***) und (***) sofort die behaupteten Beziehungen (**). Damit ist (*) für alle offenen Mengen 0 aus (
nachgewiesen.
1) Ist es notwendig, die Funktion f in Evidenz zu setzen, so bezeichnen
wir diese Mengenfunktionen mit a (21, f), r (, f), v(T, f).