Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Siebentes Kapitel.
Die Funktionen endlicher Variation.
~ 1. Absolutzuwachs, Positivzuwachs, Negativzuwachs einer
Funktion.
Wir haben in ~ 8 von Kap. VI gesehen, wie aus einer, zwei
einfachen Forderungen genügenden Intervallfunktion y des 9i eine
Inhaltsfunktion hergeleitet werden kann. Als erstes Beispiel hierfür
erhielten wir den k-dimensionalen äußeren Inhalt, indem wir unter
der Intervallfunktion Sp (,) den k-dimensionalen Inhalt des Intervalles 3 verstanden. Wir machen nun eine zweite Anwendung dieser
Theorie.
Sei in einer offenen Punktmenge q des 9k eine endliche Funktion f(X, X2,..., x) definiert1), und sei:
(1) -3= [a,, a,..., aj; b, b,..., bk]
ein abgeschlossenes, in ( enthaltenes Intervall. Wir definieren
die Differenz A(3)2) von f im Intervall 3 durch Induktion: für
k== 1 (Funktionen einer Veränderlichen) sei die Differenz von f(x)
im Intervalle:
3=[a, b]
definiert durch:
A (S) f(b) - f(a).
Sei sodann bekannt, was unter der Differenz einer Funktion von
k- 1 Veränderlichen in einem abgeschlossenen Intervalle des 9t_
zu verstehen sei. Wir betrachten die Funktion
9(, (,2 Xk)j f(bl, X,..., Xk) f(aß, x,,..., xk)
1) In den folgenden Untersuchungen ist diese Menge ~ als der metrische
Raum te zu betrachten, der den allgemeinen Untersuchungen von Kap. VI zugrunde lag.
2) Ist es notwendig, die Funktion f in Evidenz zu setzen, so schreiben
wir statt dessen: A (q, f).
Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 30