Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

464 Die absolut-additiven Mengenfunktionen.
aus M, 1x Singulärteil von 2 für xpl nach bt, V** Unstetigkeitsteil von. 2
für D. Dann ist:
(i1) ~n(x) —0 (p=0, O..., * -),
und weil *9* abzählbar (~ 3, 'Satz VIII), auch:
(i12)> ' (**)= 0.
Nach ~ 4, Satz VII ist S2-S x Regulärteil von 2 für ip? nach yq; nach ~ 3,
Satz IX ist 1 - %** Stetigkeitsteil von 2 für Z. Wir setzen:
wX X W X><t i21XX L * Wo XX 9 xf*
q — q-2 - + x qund haben wegen (11) und (12):
(13) (xx) - 0.
Wegen:
g- sf xx < - x (p=0,., - 1); t-.XX <Z _ - ~A**
ist, da y, q-dimensional rein-singulär und x rein-unstetig:
(14) (S1 -- xx)-=0 (p=O, l,.., q- 1); X( -2xx)-=0.
Sei nun:
(15) 0Ve- (2) + O.
Wegen (10) und (14) ist dann auch:
7q (Xxx) +o.
Wegen (13) ist also q9xx singulärer Teil von 21 für /)q nach yq.; jede Menge 21,
für die (15) gilt, enthält also einen singulären Teil, d. h. es ist -q q-dimensional
rein-singulär, wie behauptet.
Wegen (9) und (10) ist nun:
wo Yk k-dimensional totalstetig,.ik k-dimensional rein-singulär. Nach ~ 4,
Satz XII ist also (wenn ok9 dieselbe Bedeutung hat, wie beim Beweise von
Satz III):
=k = 79; VP'7c =: ~
Es ist demnach
Cl - + ~ik- 1
und derselbe Schluß zeigt, daß:
Pk -1?k-; ' -1 —kIndem man so weiter schließt, zeigt man, daß:
'k - k, Wk - -= k- 1, '.,, Wt t
und:
1 = Vo + x.
Aus ~ 3, Satz XVI folgt endlich noch:
Daoit ist Satz IV bewiesen.
Damit ist Satz IV bewiesen.