Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

462 Die absolut-additiven Mengenfunktionen.
tion pf totalstetig nach der Basis y1q (~ 4, S. 416), so nennen wir sie q-dimensional totalstetig, ist sie rein-singul'r nach der Basis /uq (~ 4, S. 421), so
nennen wir sie q-dimensional rein-singulär.
Wir setzen im folgenden voraus, die Mengen des a-Körpers M seien für
q 1, 2,..., k q- dimensional-meßbar.
Satz. Ist die Mengenfunktion 9p q-dimensional totalstetig,
so ist sie für p < q auch p-dimensional totalstetig.
In der Tat, ist 9i eine Menge aus M, und ist:
HP (1) =0,
so nach ~ 8, Satz XI auch:
Ja (~) = O,
und weil 9 q-dimensional totalstetig, auch:
f ()= o0.
Damit ist Satz I bewiesen.
Satz II. Ist die Mengenfunktion qg q-dimensional rein-singulär,
so ist sie für p> q auch p-dimensional rein-singulär.
In der Tat, ist für eine Menge Z aus M:
(0) f (W) + o,
so gibt es, da 9f q-dimensional rein-singulär, einen Teil- 9 von 91, so daß:
(0) + 0; tq8 (3)= 0.
Nach ~ 8, Satz XI ist dann auch p (S) -= 0, und wir sehen: in jeder Menge W
aus M, für die (0) gilt, gibt es einen Teil 9, so daß:
(e)+0;,up (3)= 0,
d. h. wp ist auch p-dimensional rein-singulär, wie behauptet.
Satz III1). Jede im o-Körper M absolut-ad ditive Mengenfunktion
9f ist darstellbar in der Form:
(1) 9=- 9-fk +- 9kl+* - +9 l o +-,
wo (. (q= 1, 2,..., k) q-dimensional totalstetig, 9,-1 (q= 1, 2,..., k)
q-dimensional rein-singulär, 9pq stetig, Ca rein-unstetig in M.
In der Tat, nach ~ 4, Satz XI hat man (für /? = P):
= 99-k+- o k,
wo (pk Regularitätsfunktion, ok Singularitätsfunktion von fq nach /a, und mithin vk,
k-dimensional totalstetig, c;k k-dimensional rein-singulär. Ebenso (für == uk _):
(ok - + -- Ok- '
wo 99k- Regularitätsfunktion, _k-' Singularitätsfunktion von cok nach _k l, und
mithin k't-1 (k -1)-dimensional totalstetig, cok_ (k-l)-dimensional reinsingulär. Indem man so weiter schließt, erhält man:
(2) 9 =9 fk +,Ek- + * + 991 + 1o,
wo 9q (q =, 2,..., k) q-dimensional totalstetig, `o, eindimensional reinsingulär.
Nach ~ 3, Satz XV ißt:
(3) ü1== 9PO- + Ca,
1) Vgl. J. Radon, Wien. Ber. 122 (1913), 1322.