Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

460 Die absolut-additiven Mengenfunktionen.
Wir machen nun eine Anwendung der Sätze VII und VIII von ~ 7. Unter
der k-dimensionalen Kugel vom Mittelpunkt (a, a2,..., ak) und vom Radius
r (> 0) verstehen wir die offene Menge aller jener Punkte (x,, x,..., xk) des Sk,
deren Koordinaten der Ungleichung genügen:
(xl - al2 - (x2 - a)2 — 1.. + ( - ak)2 < r2.
Das Mengensystem T, das bei Konstruktion der Mengenfunktion on ~ 7,
S. 450 auftrat, sei nun das System aller k-dimensionalen Kugeln, die in T:definierte Mengenfnktion v (Z) sei der k-dimensionale Inhalt') der Kugel Z.
Wir behaupten: Dann ist die Mengenfunktion rp von ~ 7, Satz VII
nichts anderes, als der k-dimensionale äußere Inhalt ka).
In der Tat, zunächst ist jedenfalls
(0) ) > (2QDenn wäre umgekehrt:
(p (P) A Sk (1),
so wäre für jedes p > 0 auch
t (, s) <.k (P))<
Es gäbe daher ein System T (9f, 9) von Kugeln, für das:
S {T (9s, o)} <' MB (Y[)
wäre. Das aber ist unmöglich, da S {T (92, e)} die Summe der Inhalte von
Kugeln ist, deren Vereinigung 9( enthält. Damit ist (0) bewiesen.
Wir beweisen nun. die umgekehrte Ungleichung:
(00) 9I () < pk ()-).
Sie ist evident, wenn /k (2)-+ co. Ist ipi (lI) endlich, so gibt es nach Satz V
zu jedem e>0 eine offene Menge > 9f, so daß:
fick (D) < k ( +) +
Nun gibt es, wie man sich unschwer überzeugt, zu jedem > 0 und jedem
e > O ein System von abzählbar vielen Kugeln, I.,.,.... aus ~,
deren Radien < {? sind, deren Vereinigung ganz 6 ist, und für die:
(000) k () < k (D) + (< k (+) + 2,).
Lassen wir alle y, weg, die etwa keinen Punkt von f enthalten, so entsteht
ein System T (9(, Ö), für das wegen (000):
S {T (92, e)} </ RIC (W) + 2.
Es ist also erst recht:
f (9, Q) < 7 2)+2t,
und da dies für jedes s > 0 gilt:
___ (OX? e) Yk (21)
1) Ist Z eine Kugel vom Radius r, so ist also für kc 1: ) (Z) =2 r; für
k-=2: z($)=' 27; für k- 3: T()- 4r3. Allgemein:
1 ki
( (2k+1)
2) Da der Inhalt der Kugeln offenbar invariant ist gegenüber orthogonaler
Transformation des 1k, folgert man hieraus sofort, daß auch der äußere Inhalt ilk (t) invariant ist gegenüber orthogonaler Transformation.