Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VI, ~ 8. Inhaltsfunktionen im 9iI. 459
so gibt es eine in 3 nirgends dichte, abgeschlossene Menge
x(-<3), für die:
Mk (v) q.
In der Tat, nach Satz IX gibt es zunächst eine in l nirgends
dichte, abgeschlossene Menge 9 '-< 3, für die:
(ttt) Mk()> Q
Wir bezeichnen mit r (i2>0) das Intervall:,%.=[- -,- *..., —l; ü, A, *. *L].
Dann ist (7S,(2'3) eine stetige Funktion von 2, die, wenn A von 0
bis + oo wächst, alle Werte von 0 bis Ätt (f') durchläuft. Wegen
(ttt) muß es daher ein 2 geben, so daß:
Wir setzen:
und Satz X ist bewiesen.
Die große Bedeutung der im vorstehenden eingeführten Mengenfunktion p>,
die wir als den k-dimensionalen Inhalt bezeichnet haben, beruht auf folgendem: Wir stellen uns, um den elementar-geometrischen Inhaltsbegriff zu verallgemeinern, die Aufgabe, im 9k eine absolut-additive, nicht-negative Mengenfunktion f zu finden, die, wenn 2* ein offenes Intervall (a, a,,... a/;
b1, b,...., bl,) ist, gleich dem Inhalt dieses Interyalles wird:
(x) Q (3*) = (b, - a,) (b2 - a)... (b,, - ak).
Es zeigt sich dann, daß für alle k-dinmensional-m.eßbaren Mengen
des 9S, diese Funktion qp notwendig mit tk übereinstimmt.
In der Tat, zunächst ist dies offenbar für alle offenen Intervalle der Fall.
Sodann folgert man leicht, daß auch für das abgeschlossene Intervall:
==- [a", a 2.., ak; b, b,..., bk]
die Formel gilt:
() =(bl- - a) (b - a,)... (b - a).
Da nun jede offene Menge S Vereinigung abzählbar vieler abgeschlossener
Intervalle ohne gemeinsame innere Punkte ist, so erkennt man sofort, daß t (D)
die obere Schranke der Inhalte aller endlichen Intervallsysteme aus 0 ist, so
daß für alle offenen Mengen
(D) = ~,7, (D).
Daher stimmen tq und MI, auch für die Komplemente der offenen Mengen,
d. h. für die abgeschlossenen Mengen überein, und somit auch für o-Durchschnitte und a-Vereinigungen. Da es aber (Satz IV) zu jeder k-dimensionalmeßbaren Menge eine maßgleiche Hülle gibt, die o-.Durchschnitt ist,. und
einen maßgleichen Kern, der a-Vereinigung ist, so stimmen gp und /h auch
für alle k-dimensional-meßbaren Mengen überein, wie behauptet1).
1) Es sei noch eigens bemerkt, daß es eine nicht-negative, im a-Körper
aller Punktmengen des 8k absolut-additive Mengenfunktion tP, für die (x)
gilt, nicht geben kann: F. Hausdorff, Grundz. d. Mengenlehre 401; vgl.
auch ebenda 469.