Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

452 Die absolut-additiven Mengenfunktionen.
und hieraus folgt (000) durch den Grenzübergang P -- + -0. Damrit ist Eigenschaft 4. nachgewiesen, und der Beweis von Satz VII beendet.
Satz VIII. Sind die Mengen Z des Systems T offen, so ist die
durch (0) definierte Mengenfunktion p (wenn sie nicht identisch
verschwindet) eine Inhaltsfunktion.
Zufolge Satz VII haben wir nur mehr nachzuweisen, daß p die Eigenschaft 5 a. (S. 444) hat; d. h. wir haben zu zeigen: Zu jeder Menge 9 gibt es
einen o-Durchschnitt > 92, so daß:
(*) t (X)== ().
Dies ist evident, wenn cp (91) =-+. Sei also t (9) endlich. Ist {t,} eine
Folge positiver Zahlen mit
(**) lim,=-~ 0,
so ist nach Definition von 9p (9):
(***) O() (-)= lim t (9Q, en).
n = oo
Und da T, (92, Q,) untere Schranke der S {T (92, e,)}, gibt es ein T (9, Q,), so daß;
(***) S {T (2, en)} < f.(9, en) +
Nach Annahme ist jede Menge aus T (91, e) offen, daher (Kap. I, ~ 2,
Satz VII) auch die Vereinigung dieser Meenge, die wir mit,n bezeichnen
wollen. Daher ist:
<2= ' '2' * ', 'e.' *% 0,-0a... 0~.-...
ein o -Durchschnitt, und es ist >-91.
Wir behaupten: Jedes System T (1, kn) ist zugleich ein System T (), 2 n).
Wegen T > 91 ist von den beiden Eigenschaften der Systeme T (), 2 en) (S. 450)
die zweite sicher erfüllt. Was die erste anlangt, ist zu zeigen: Zu jedem
Punkte a von ) gibt es in T (91, n) mindestens eine a enthaltende, in U (a; 2en)
liegende Menge Z. Da D< ()n, gibt es in T (S, en) gewiß eine a enthaltende
Menge S. Nach Definition von T (t9, e) liegt diese Menge Z ganz in der
Umgebung U (a'; n) eines Punktes a' von 91. Es ist also' r(a, a') <Qn, und
wegen < U (a';,,) ist nach der Dreiecksungleichung Z < U (a; 2 en), wie behauptet.
Da also jedes System T (, en) ein System T (), 2e,) ist, folgt für die
untere Schranke der S {T (, 2 )} aus (***):
(2, 2 e)< (9, )n)+,-,
mithin wegen (***) und (**):
(o () = lim 9f (), Q) = lim f9 (O, 2 n") ~ (9).
eo=+O n=oo
Wegen ' > 9 ist aber andrerseits
Es (g, u> (Sa).
Es gilt also (*), und Satz VIII ist bewiesen.