Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

450 Die absolut-additiven Mengenfunktionen.
ist also erst recht:
und (8), und damit auch (7) ist bewiesen.
Was endlich Eigenschaft 5a. der Inhaltsfunktionen (S. 444) anlangt, so gibt es nach Definition von 9p (X) eine Folge offener Mengen,>-2, so daß
lim 9 (~) 99 (9).
Setzen wir:
so ist auch >.... und.
so ist auch ~-~Y und
f3 ()= - (I),
wie Eigenschaft 5a. es verlangt. Damit ist Satz VI nachgewiesen.
Wir wollen noch ein anderes Verfahren besprechen, das uns in ~ 8 auf
die wichtigsten Spezialfälle des Begriffes der Inhaltsfunktion führen wirdl).
Sei T ein System von Punktmengen des Raumes 9R, derart daß, wenn a
irgendeinen Punkt von 9 bedeutet, in jeder Umgebung von a mindestens eine
a enthaltende Menge aus T liegt. Für alle Mengen Z von T sei eine nichtnegative Mengenfunktion z(Z) definiert.
Sei nun % eine gegebene Punktmenge, P eine positive Zahl. Wir bezeichnen als ein System T(9, E) jedes Teilsystem von T mit folgenden Eigenschaften:
1. Ist a ein beliebiger Punkt von i, so gibt es in T(,),e) mindestens
eine a enthaltende, ganz in U(a; e) liegende Menge aus T.
2. Jede Menge aus T ((, e) liegt ganz in der Umgebung 11 (a; e) mindestens
eines Punktes a von 91 [und mithin ganz in U (9; e)].
Wir bilden nun zu jeder Menge Z aus T(91, e) den Funktionswert v (S)
und bezeichnen mit S{T(1, e)} die Summe der z (Z) [für alle Mengen $ aus
T(9, e)] 2). Die untere Schranke aller dieser Zahlen S{T(9T, e)} [für alle möglichen T(91, o), bei festgehaltenem 91 und e] bezeichnen wir mit (9t, e).
Weil für e'< jedes T(9,e') auch ein T(9,e) ist, so ist;
(91,e')_2 (91,e) für Q'Qe.
Es existiert also der Grenzwert:
(0) 49 (9) = lim 9 (91, e).
e=+o
Hierdurch ist die Mengenfunktion 9{(91) für alle nicht leeren Mengen 91 definiert.
Wir dehnen ihre Definition auch auf die leere Menge 2 aus durch die Festsetzung:
9(S) = o0.
Wir behaupten:
1) Vgl. hierzu F. Hausdorff, Math. Ann. 79 (1918), 159.
a) Gibt es unter den Zahlen T () eine nicht abzählbare Menge von N'ull
verschiedener, so ist unter ihrer Summe der Wert -- oo zu verstehen.