Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

!Kap. VI, ~ 7. Inhaltsfunktionen. 449
Wir haben zu zeigen, daß:
(3) (t) < ( 9) - (2) +. + (9,) -.
Dies ist sicher richtig, wenn ein 9 (9,) -+- oo. Seien also alle T (O)
endlich. Ist dann >0 beliebig gegeben und {er} eine Folge
positiver Zahlen, so daß:
(4) 2^E,
so gibt es zu 4, eine offene Menge,) > 9V, so daß:
(5) f (,)0 < 9 (E) + er.
Setzen wir:
D =j, -+~ 2 - ~)'.+ *
so ist B>-t, und aus (1), (5), (4) folgt:
() <> (v) +t
Aus ~)>- aber folgt:
99 () ()< ( ^ ) +
und da dies für jedes e > 0 gilt, ist (3) bewiesen.
Wir beweisen sodann Eigenschaft 4. der gewöhnlichen Maßfunktionen (S. 430). Seien 21 und S zwei Mengen, für die:
(6) r(,3)= >0.
Wir haben zu zeigen:
(7) + )= ( + (S).
Wegen (3) ist gewiß:
99 ( ~r ) <9 (9i) c (S).
Es ist also nur noch zu zeigen:
(9 (+ - )> 2 (W) X- 9 ()
Dazu genügt es, zu zeigen: Für jede - + e- enthaltende offene
Menge 0 ist:
(8) Ö (D) P (t) + 99 ().
Wir setzen:
'D1 ~=- 11(;W; 2;. O)U(s8;|)
Wegen (6) sind dann Zn und Z. fremd; es gilt also (2), und da
Dx -{ ^a c-<, so0 ist:
qp (D1 + 2) = v, (0)) + 9 (02,) < (0).
Wegen:
()ahn, WThe(); p( c)r rn F..
Hahn, Theorie der reellen Funktionen. 1. 29