Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

448 Die absolut-additiven Mengenfunktionen.
Nun gibt es, wie wir beim Beweise von Satz IV sahen, eine a-Vereinigung < 9 - 2*, so daß:
99 (9 - * - ()=.
Wir setzen 9 - ( f**. Dann ist 91** o-Durchschnitt, es ist
92** >-9*, und es ist:
(9 (** - *)= (R - - *)= 0.
Damit ist Satz V bewiesen.
Satz VI. Sei 9p eine für alle offenen Mengen ) definierte,
nicht identisch verschwindende Mengenfunktion von folgenden Eigenschaften:
1. Es ist p(~0) 0 für alle offenen Mengen; für die leere
Menge 2 ist 99(2)==0.
2. Aus ~-1<D2 folgt:
93 (D1)~ <f (02)
3. Ist die offene Menge 0 Vereinigung abzählbar vieler
offener Mengen:
0 =, i- + -, +.. -+ ~, +* *..,
so ist:
'(1) (0) < (0) + _ (2) +...+ ( +....
4. Sind die beiden offenen Mengen Z, und ~2 fremd,
so ist:
(2) 99 (1 + 2)= (01)+ 9 (2).
Dann kann 9(~) zu einer für alle Punktmengen definierten
Inhaltsfunktion erweitert werden').
In der Tat, sei 9/ eine beliebige Punktmenge. Wir verstehen
unter 99 (9) die untere Schranke von 99 (0) für alle %9 enthaltenden
offenen Mengen D.
Die so für alle Mengen 9f definierte Mengenfunktion 99 (9) ist
nun eine Inhaltsfunktion. In der Tat, die Eigenschaften 1. und 2.
der Maßfunktionen (S. 424) sind erfüllt, wie sofort aus den Eigenschaften 1. und 2. von 99 (D) folgt. Wir weisen nach, daß auch Eigenschaft 3. der Maßfunktionen erfüllt ist.
Sei zu dem Zwecke
t_ -1 +,+ + n +...
1) Ist t( eine offene Menge, und ist qv(0) nur definiert für alle ~)<,
so kann p zu einer für alle in (M enthaltenen Punktmengen 1 definierten
Inhaltsfunktion erweitert werden.