Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

440 Die absolut-additiven Mengenfunktionen.
Wir setzen:
'v- v ' Wv ' +k O ~ *
dann ist auch die Mengenfolge {,,} monoton wachsend, und wegen:
V -< 9v -< 9* ist auch:
9 ()-99 (s1')
Setzen wir:
1 = lim 9w,
v _= c
so ist, da die 9W 9p-meßbar (~ 5, Satz XV):
99 (9) = lim p (91) lim So (g,),
v = co v == O0
und wegen 9-<i9 ist also:
(**) 99 () r< lim 9(,,).
V= 00
Wegen 9 > 9X, ist aber andrerseits
(***) 99 (9) > lim 9 (L).. = Co
Durch (**) und (***) aber ist (*) bewiesen.
Satz XV. Ist 99 eine reguläre Maßfunktion, ist {%,} eine
monoton abnehmende1) Mengenfolge und 91=lim ",,, so ist,
wenn nicht alle 99*(9v) unendlich sind: y=c
(%* ) 99* (91) -limr * (v).
V i= 00
In der Tat, wir können ohne Einschränkung der Allgemeinheit
annehmen, alle *,(%,) sind endlich. Sei 91* ein maßgleicher Kern
von X9 (Satz XIII). Wir setzen:
9 -f Wv* +l * + + y+ +*+.
Dann ist {9,1} monoton abnehmend, es ist:
99 (i)-99= * (v),
und, wenn:
lim 91
gesetzt wird, ist (~ 5, Satz XIV):
(9 () = lim 9? (,) = lirm c, (g).
v a= 00 V = CO
Wegen 9I>- ist also:
99* () ~ lim 99* (O),
v= Co
1) Für monoton wachsende Mengenfolgen gilt ein solcher Satz nicht:
F. Hausdorff, a. a. 0. 418.