Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VI, ~ 6. Gewöhnliche und reguläre Maßfunktionen. 439
Es ist daher, bei Beachtung von (5), (2) und (3):
~, (VCT) + q, (w - ae) = -* (^ ) = ~, (V ) < ~ (9X ) (P ).
Es gilt also (1) nicht für jede p>-meßbare Menge X endlichen
9-Maßes, und Satz XII ist bewiesen.
Nun endlich beweisen wir das Gegenstück zu Satz V:
Satz XIII. Ist Tp eine reguläre Maßfunktion, und ist
99,(92) endlich, so gibt es maßgleiche Kerne von %2.
In der Tat, nach Definition von qp, gibt es zu jedem n eine
p9-meßbare Menge,-< If, so daß:
Setzen wir:
==ei,+ +...- n -..
so ist 92, 99 -meßbar, und es ist:
~(x)"> ~ 2<; ~ (,*) =-, (9).
Sei nun 93 eine beliebige 9-meßbare Menge. Angenommen, es wäre:
(x X) 9 (9f) < P*(^^).
Wegen 2,-<9 ist:
(xXX) 9(",- f)~, (2- "x).
Da J 99 -meßbar, würde die Addition von (XX) und (XXX) wegen (t)
von Satz XI ergeben:
) (2,) < 9* (g),
entgegen (x). Also ist (xx) unmöglich, d. h. es ist:
99 (9,)= 99 ( ),
d. h. 91, ist maßgleicher Kern von f. Damit ist Satz XIII bewiesen.
Satz XIV. Ist 99 eine reguläre Maßfunktion, ist {9/,,}
eine monoton wachsende') Mengenfolge und2 4 —limr 9, so ist:
(*) q? (9) =-lim 99 (/,,).
In der Tat, die Behauptung ist offenbar richtig, wenn es unter
den 99 (9I) unendliche gibt, denn dann sind sie fast alle =-+ -co, und
wegen f >- 92, ist auch 99 (2) ==- - oo.
Seien also alle 99 (9f,) endlich und sei (Satz V) 9f* eine maßgleiche
Hülle von 9f,:
_________ 9f* >- 2; 99 (i?) ~- (9 ).
1) Für monoton abnehmende Mengenfolgen gilt ein solcher Satz nicht:
F. Hausdorff, Grundz. d. Mengenlehre, 4t.9.