Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

436 Die absolut-additiven Mengenfunktionen.
Satz VI. Ist 2* maßgleiche Hülle von 9f, so ist:, (*-) - =0.
In der Tat, andernfalls gäbe es einen 9- meßbaren Teil 9 von
2* —2, so daß:
tp (e)> O.
Da 9-<9 *-2f, ist 9 2fI leer und daher:
-p (gm.)=0; ( (g.*) r = (m)>0,
entgegen der Definition der maßgleichen Hüllen. Damit ist Satz VI
bewiesen.
Wir können nun Satz I von ~ 5 weiter verschärfen:
Satz VII. Ist cp eine reguläre Maßfunktion, und gilt für
jede fp-meßbare Menge S3 von endlichem 99-Maße die
Gleichung:
(**) ~ (~3)= - (I3) + 99 (3 -- ~93),
so ist 9D 99-meßbar.
In der Tat, ist 9D nicht 99-meßbar, so gibt es nach ~ 5, Satz I
eine Menge S9 von endlichem 99 (9), so daß:
(***.) ( f) < 9 (.9) + f (t - M9)).
Sei W* eine maßgleiche Hülle von g9; dann ist:
f()=99 (V*); 99(912)0~9 ( [9); f() - )9 (Y* -9 W9*).
Aus (***) folgt also:
fp (f*) < f (9p7 ) + f (* -9 I*),
entgegen der Voraussetzung, daß für jedes 99-meßbare 3 von endlichem 9 (S3) (***) gilt. Damit ist Satz VII bewiesen.
Satz VIII. Ist 9 eine reguläre Maßfunktion, und ist
die Menge 9) nicht 99-meßbar, so gibt es eine 99-meßbare
Menge 5 endlichen 99-Maßes, so daß 9).3 gleichfalls nicht
99-meßbar ist.
Ist in der Tat 9)S nicht 99-meßbar, so gibt es nach Satz VII
eine.p9-meßbare Menge 3 von endlichem 99 (S), so daß:
(0) f9 (S) < f3 () 3) + f (t - Sm ).
Hierin ist WS3 nicht r9-meßbar; denn sonst wäre auch 3-9)J13
99-meßbar, und es wäre
C9 (3) = (9 ( 3) + p9 (V (- be),
entgegen (0). Damit ist Satz VIII bewiesen.