Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VI, ~ 6. Gewöhnliche und reguläre Maßfunktionen. 435
folgt, 9p (93 - 9) die untere Schranke der q (5 - TZ) ist:
(xXx) *(W) + ()+ (3 -- ) ().
Aus (Xxx) und (xxx) aber folgt (x), und Satz IV ist bewiesen.
Wir bezeichnen als maßgleiche Hülle 9W* von 1 jede 99-meßbare, 91 enthaltende Punktmenge 91' derart, daß für jede 99-meßbare
M enge 9S:
9 (9j9*)= 99 (9m ).
Insbesondere ist also auch (indem man etwa 9- =91 setzt):
9 (,1*) 9 (9).
Wir bezeichnen als maßgleichen Kern von 1 jede in 9 enthaltene
99-meßbare Menge 91, derart, daß für jede 9p-meßbare Menge 9:
9 (m%,) = 9* (9Yl 9X).
Insbesondere ist also auch (indem man etwa 9Jl==-9* setzt):
9 (,*)=) 9* (1).
Satz Y. Ist p9 eine reguläre Maßfunktion, und ist 99(91)
endlich, so gibt es maßgleiche Hüllen von 9I.
In der Tat, nach Eigenschaft 5. der regulären Maßfunktionen
gibt es zu jedem n eine 99-meßbare Menge,,>-91, so daß:
(P (en) < f (9 ) +
Setzen wir:
* -.231~ 2. E. -...,
so ist 9* 99-meßbar (~ 5, Satz VIII), und es ist:
(*) a2* >; f (,X) =t(99()
Sei nun 93Z eine beliebige 99-meßbare Menge. Angenommen, es wäre:
(**) f (pr {i*) > f (> (m).
Wegen 9I* >- ist:
(***) - (. * - ( W * ) > t (S( - 99 S ).
Da 9) 9 -meßbar, würde die Addition von (**) und (***) ergeben:
99 (,*) 9> (9W),
entgegen (*); also ist (**) unmöglich, d. h. es ist:
99 (9*)- (W)
und Satz V ist bewiesen.
Bevor wir daran gehen, den analogen Satz für die maßgleichen
Kerne zu beweisen, ziehen wir einige Folgerungen.
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