Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VI, ~ 6. Gewöhnliche und reguläre Maßfunktionen. 433
Eine Maßfunktion, die auch noch dieser Forderung genügt,
wollen wir eine reguläre Maßfunktion nennen1).
Es ist nun naheliegend, die Definition aufzustellen: Unter dem
inneren 99-Maße cp,(9l) verstehen wir die obere Schranke der
qq-Maße qp(9)1) der in 9t enthaltenen q'-meßbaren Mengen 9.. Das
innere p -Maß cp, hat dann analoge Eigenschaften, wie das äußere
(p-Maß. Es gilt nämlich2):
Satz III. Ist qp eine reguläre Maßfunktion, so hat das
zugehörige innere Maß 9p, die folgenden Eigenschaften:
1. Es ist T9),(9f)0 für alle?f, und für die leere Menge
ist *(2)=. --
2. Aus -< x folgt:, (3) < ~, (91).
3. Für die Vereinigung Vf abzählbar vieler zu je zweien
fremder Mengen 911 gilt:
(t> 79* (O) = q, (x,) + ~, () +... +, (2f) +.
4. Haben die beiden Mengen 9 und 33 positiven Abstand,
so ist:
(tt) ~, (g + m)=,* 3 ) -+ <, (58).
5. Es ist p*,(p ) die obere Schranke der 99-Maße p(9)1)
der in 9f enthaltenen 99-meßbaren Mengen 9)t.
In der Tat, Eigenschaft 1. und 2. sind evident; Eigenschaft 5.
ist die Definition von 9,. Es sind also nur 3. und 4. zu beweisen.
Ist p irgendeine Zahl:
(ttt) P <, (A) + ~, (.W - +. w * (%) +...
so gibt es in jeder Menge f,, einen 99-meßbaren Teil 9,, so daß
auch:? (V1) + 9 (R)+... + 9 ( +-. >.P
Ebenso wie die 9f, sind die 9), zu je zweien fremd, und da sie
meßbar, ist (~ 5, Satz X):? (~ + ~x~ +... -+ ~ +...)= ~ (~)+ g (It~) +... + ~ ( ) +...
Es ist also m9-1 + 2- -...4-,'-'... ein qi-meßbarer Teil 9 von 9X,
für den:
9) ())> p,
es ist also auch:
___ () > p,
1) Nach C. Caratheodory, Vorl. über reelle Funktionen, 258. Ein Beispiel einer gewöhnlichen, aber nicht regulären Maßfunktion ebenda, 363.
2) Näheres über innere Maße: C. Carath6odory, a. a. 0., 364. A. Rosenthal, Gött. Nachr. 1916, 305.
Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 28