Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

432 Die absolut-additiven Mengenfunktionen.
Setzen wir noch:
eln -- (25n - +1 + 5 +92 + *
so ist nach Eigenschaft 3. der Maßfunktionen:
= n +l
und mithin wegen (00) auch:
(000) lim fp (n)-= 0.
Nun ist:
S'~ S'% +,3n,
daher wegen Eigenschaft 2. und 3. der Maßfunktionen:
p9 () 9 (') < f (Sn) + Y (n);
aus (000) folgt also:
(0o0) limrn () — 9').
= ao
Ferner haben 9I. S L und 9'" voneinander positiven Abstand. Wegen
Eigenschaft 2. und 4. der gewöhnlichen Maßfunktionen ist also:
9 (R.S3) + () (t),
woraus wegen (0o0) folgt:
(. )+ (3')< (S).
Wegen Eigenschaft 3. der Maßfunktionen aber ist auch:
(399 ( ) +99 (') ~> (9),
und daher:
f (. i) S)+ (3')= (S).
Das aber ist die zu beweisende Gleichung (0), also ist jede abgeschlossene, und mithin wegen ~ 5, Satz II auch jede offene Menge 9 -meßbar, und Satz I ist bewiesen.
Satz II. Ist f9 eine gewöhnliche Maßfunktion, so ist
jede Borelsche Menge 99-meßbar.
In der Tat, nach ~ 5, Satz VII ist das System aller 99-meßbaren
Mengen ein a-Körper. Jeder a-Körper, der alle abgeschlossenen
und alle offenen Mengen enthält, enthält aber alle Borelschen Mengen.
Also folgt Satz II aus Satz I.
Wir unterwerfen nun die gewöhnliche Maßfunktion 99 außer
den Forderungen 1., 2., 3., 4. noch der weiteren Forderung:
5. Für jede Menge 9 ist das äußere Maß 7(9S) gleich
der unteren Schranke der 99-Maß e 9 (9) der 9 enthaltenden
f -meßbaren Mengen' 9.