Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VI, ~ 6. Gewöhnliche und reguläre Maßfunktionen. 431
Sei zum Beweise D9 eine abgeschlossene Menge. Wir haben
zu zeigen (~ 5, Satz I): Für jede beliebige Menge S3 von endlichem
äußeren cp-Inhalt gilt die Gleichung:
(0) ( ( S) = (m ) + 9 (_ - n).
Wir bezeichnen (Fig. 17) mit
9)li die Menge aller Punkte a von 9,
für die:
r (a, 9R))> 1
mit RW (n > 1) die Menge aller i "
Punkte a von 9R, für die:
- >r (a,))>-. Fig. 17.
n -- n
Da O9 abgeschlossen, ist für jeden Punkt a von S- 9S:
r(a, J) > 0,
mithin ist:
S- Du= H;s-... + An +-.
Setzen wir:
e 9 ~3; 3; t n - n X,
so ist also auch
a i Hä- + s t+... + n +...
Die Mengen 9N' und 9M'+k (k> 1) haben, als abgeschlossene
Mengen ohne gemeinsamen Punkt, voneinander positiven Abstand;
dasselbe gilt daher für 3'i und + (k> 1). Wegen Eigenschaft 4..
der gewöhnlichen Maßfunktionen ist also:
t (S + '3 + * * * + 2n-1) -= p () + 9p (t) + * * * + 9 ( 2n- ),
und wegen Eigenschaft 2. der Maßfunktionen ist somit:
Da 9 () und mithin (p (') endlich ist, folgt hieraus die eigentliche
Konvergenz der Reihe:
(81) + 99 () +..* + 99 (,-) +. *.
und ganz ebenso beweist man die eigentliche Konvergenz der Reihe:
(2)+ 9 () )+.+.4 (P ) +...
Es ist also auch die Reihe 2 (8') eigentlich konvergent, und somit:
v=l
(00) lim 99 (8'=)- 0.
n=w v=nr-t+l