Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VI, ~ 5. Maßfunktionen. 427
Wegen Eigenschaft 2. der Maßfunktionen ist:
f (~e) < 9~ ( n+ ) < P (SB).
Es existiert also der Grenzwert:,(3) lim f9 (eS') _ 7 (0'3).
— =oo
Durch vollständige Induktion beweisen wir:
(4) <p ( (n)= ZP ()) + f (1,) +.. + t ((,n).
Angenommen in der Tat, dies gelte für den Index n- 1:
(5) c n-sI) = ( p,) + q (,) +... + tq (Za~ _.
Da 9l, p9-meßbar, folgt aus (0) für 9= —3., 9 -==-,l:
n %)=<^-i)+n (^
99 (P3) (0-1) + f (TJ)
woraus durch Einsetzen von (5) die Gleichung (4) entsteht, die
damit bewiesen ist.
Es ist also in (3):
(6) lim9 ()= (f1)+ 9 (S'2) +.- +Q ())n) - +Wegen Eigenschaft 3. der Maßfunktionen ist aber:
(t') f (1) + f ()) +. + f (9 ) --...
Es ist also wegen (6):
(S') lim (n),
was zusammen mit (3) ergibt:
(7) hlim 9 (9sn) =9 (').
n= co
Nach Satz III ist + +9 --... +-, 9-meßbar. Es folgt
also aus (0) für 9= - 3', m= 9,+ 9 + +... 9N,:
(8) fW (t') -= (t) + f (n);
und da 99 (3) und somit nach Eigenschaft 2. der Maßfunktionen
auch T (Q') endlich ist, folgt aus (8) und (7):
(9) lim Cp (58)= 0.
n=
Setzen wir aber in (0): S =, e93 =- 9+ 92 +'-. + 9n so8
erhalten wir:
(10) v (B)= i (n) + C (n + )
Hierin ist wegen Eigenschaft 2. und 3. der Maßfunktionen:
P (B") < 99 (n + ") < V (~") + (n9),9
C/,(~~l~)"<al l I 99