Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

426 Die absolut-additiven Mengenfunktionen.
In der Tat, nach Satz II ist auch 91- 9, p-meßbar, daher
nach Satz III auch (91- 9)) + 9J2, daher nach Satz II auch
S - ((Er - J1) + m2) 1 2)-m
und Satz IV ist bewiesen.
Satz III und IV können in die Aussage zusammengefaßt werden:
Satz V. Das System aller p-meßbaren Mengen bildet
einen Körper.
Und wir erkennen augenblicklich:
Satz VI. Die Maßfunktion p ist additiv im Körper der
9 —meßbaren Mengen.
In der Tat, seien 9. und 9), zwei fremde U-meßbare Mengen.
Wir setzen in (0):
+ == 91 + t
und erhalten:
9 (R + 9)=9(1)+f (9)9
womit Satz VI bewiesen ist.
Wie angekündigt, gilt aber darüber hinaus:
Satz VII. Das System aller p-meßbaren Mengen bildet
einen o-Körper.
Wir haben zu zeigen: Ist {(9}, eine Folge p -meßbarer Mengen,
so ist auch:
W -fl 1 + M 2 + * *+,+ ' * '
(p-meßbar. Dabei kann ohne weiteres vorausgesetzt werden, die
R1n seien zu je zweien fremd, da man anderenfalls nur 9.1n (n> 1)
zu ersetzen hat durch:
(91 + 92 +... + n) - (1 + 92 +' + -... n-1)Nach Satz I wird die Hä-Meßbarkeit von W bewiesen sein, wenn gezeigt ist: für jede Menge 3 von endlichem äußeren yp-Maße ist:, 2 ~:I (91) 9p ()= - (p ) + f ( - 0 ).
Wir setzen nun (Fig. 16):
1 2 3 _1 9ÄF - B=~"; W3 = S';
1 + +*... +,.-.;
Fig. 16. 2
pie zu beweisende Gleichung (1) lautet dann:
(2) f (8)= p (D')+ (3").