Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VI, ~ 4. Totalstetige Mengenfunktionen. 419
Sei in der Tat {33} eine Folge zu je zweien fremder Mengen
aus M, und sei
-= 2 + 92 +... + S- -...
Wir setzen:
Aff = t1 e n2 + * * * + eia; $ Du 2n +1 + 22i +2 + t * ~
Wir haben nachzuweisen:
(t) t ()-= (1+t) - + ( ~) -.. + (An) +-...
Wegen der Additivität von 9 ist:
9y (t) y(A)+ f(~J; (F.) - q (9i) + 9 (,2) + * + f9 (du)
Es ist also (t) gleichbedeutend mit:
(tt) lim t (,) = 0.
~l=00
Wegen der absoluten Additivität von ß ist nun aber:
(t) () ()= ) + ß (e2)+ A- + ß An)+*
(ttt) ß (zn) ß ( 1 + ß (en+2) +...
Weil fß (3) endlich, ist die Reihe in (tt) eigentlich konvergent,
mithin wegen (ttt)
(ttt) lim f (lj,) O0.
Nach6 Voraussetzung aber folgt aus (tfi) das Bestehen von (tt)Es gilt also (t), und Satz VI ist bewiesen.
Sei nun 9 eine beliebige Menge aus M. Wir bezeichnen jeden
zu M gehörigen Teil ( von 92, für den:
c(f, a)=0; a (, )> 0,
als einen (für tp nach der Basis ß) singulären Teil'). Jeden zu M
gehörigen Teil 3 von 29, der keinen solchen (nicht leeren) singulären
Teil enthält, nennen wir einen (für 99 nach der Basis ß) regulären
Teil von 5.
Seien n und v die oberen Schranken von 7 (p, 3) und v (p, 3)
für alle regulären Teile 33 von 95, und z und V die oberen Schranken
von n (7, (p) und v (p, (i) für alle singulären Teile ( von A. Wie bei
der Definition von Stetigkeitsteil und Unstetigkeitsteil von 92 (S. 411)
sehen wir: Es gibt in 9 reguläre Teile 2X, so daß:
(*) n: (p. X) ' (, - v(t x)=,
1) Aus formalen Gründen rechnen wir auch die leere Menge zu diesen
singulären Teilen.
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