Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VI, ~ 4. Totalstetige Mengenfunktionen. 417
so gilt auch (~ 2, Satz XI) mindestens eine der beiden Ungleichungen:
(00), (t, 2) > ~ ( >,,.) > o.
Nach ~ 2, Satz IV gibt es dann einen Teil 3 von 9I, für den:
(o0O) f (S) +.
Wegen 23-< f folgt aber aus a (,9f)- 0 auch (~ 2, Satz VIII):
(000) ((, S) = o.
Wegen (~o~) und (o00) aber ist p nicht totalstetig nach ß.
Die Bedingung ist hinreichend. Denn aus:
a(9, W)= 0 folgt ): f (9)= 0.
Satz II. Damit die im o-Körper M absolut-additive
Mengenfunktion 9p totalstetig sei nach f, ist notwendig
und hinreichend, daß sowohl ihre Positivfunktion n($), als
ihre Negativfunktion v (p) totalstetig seien nach ß.
Die Bedingung ist notwendig. Denn aus dem Bestehen einer
der beiden Ungleichungen (00) folgt nach ~ 2, Satz XI das Bestehen
von (0).
Die Bedingung ist hinreichend. Denn aus
(f, )=0; v(p,2) =0
folgt nach ~ 2, Satz XIV:
99 (W) =0.
Satz III. Jede im a-Körper M absolut-additive und
(nach f) totalstetige Mengenfunktion ist Differenz zweier
nicht-negativer, in M absolut-additiver und (nach ß) totalstetiger Mengenfunktionen, von denen mindestens eine
endlich ist.
In der Tat, dies ist vermöge Satz II eine unmittelbare Folgerung aus ~ 2, Satz XIV.
Satz IV. Ist 9 eine im o-Körper M absolut-additive,
endliche und (nach f) totalstetige Mengenfunktion, so
gilt für jede Mengenfolge {gf} aus M, für die:
(x) lima(ß =
n=
ist, die Beziehung:
(xx>) -lima(p, ) =-0.
Angenommen in der Tat, dies wäre nicht der Fall. Dann gäbe
1) Nach ~ 2, Satz XIII.
Hahn, Theorie der reellen Funktionen. 1. 27