Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

416 Die absolut-additiven Mengenfunktionen.
keitsteil von 52 gewählt werden kann. Da 52* keinen Unstetigkeitspunkt von tp enthält, ist auf jedem Teile e3 von 2*:
(*) f**(S)=0;
da pß* stetig und 91** abzählbar, ist (Satz VI) auf jedem Teile L
von S**:
* *(()=O
und mithin:
(**) f** ()= ().
Aus (*) und (**) folgert man leicht:
(*) a( **, )=a ( *, **).
Da 991 stetig und 9** abzählbar, ist (Satz VI):
A(u) ( (91,, *)=.
Aus (x) folgt nach ~ 2, Satz VI:
a (9, **) a (99, t**) + a (9, 52**).
Setzt man hierin (**) und (*) ein, so erhält man (XX), und Satz XVII
ist bewiesen.
~ 4. Totalstetige Mengenfunktionen.
Sei M ein o-Körper und l (92) eine in M definierte, absolutadditive Mengenfunktion, die wir weiterhin als Basisfunktion bezeichnen werden.
Die in M definierte Mengenfunktion 9p heißt in M totalstetig1)
nach der Basis f, wenn für jedes 52 aus M, für das:
a (A,) = 0,
auch die Gleichung gilt:
99 () = 0.
Satz I. Damit die im a- Körper M absolut-additive
Mengenfunktion 9f totalstetig sei nach /b, ist notwendig
und hinreichend, daß ihre Absolutfunktion a(9p) totalstetig
sei nach ß/.
Die Bedingung ist notwendig. Denn ist:
(0) a (f, ) >, a (l, w)=o,
1) Vgl. hierzu H. Lebesgue, Ann. Ec. Norm. (3) 27 (1910), 381. J. Radon,
Wien. Ber. 122 (1913), 1318ff. - Der Name "totalstetig" (statt des früher gebräuchlichen,absolut stetig") wurde eingeführt von C. Carath6odory, Vorl.
über reelle Funktionen 475.