Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VI, ~ 3. Stetige und unstetige Mengenfunktionen. 415
Wegen (tt-) ist daher weiter:
(ttt) 91 (WI*)=91 (I) - 91 (**)w 1 ()
Da 991 stetig, ist jeder Unstetigkeitspunkt von 992 auch Unstetigkeitspunkt von 9, es ist also 9f* frei von Unstetigkeitspunkten von
992, und da 99 rein-unstetig, ist:
(ttt) ~ (*)=.
Aus (ttt) (ttt) und (tt) folgt nun:
99 91 (=) (i*) = 91 ( + 992 (1*) 99 (,t*)= 9* (1).
Aus (t) und (tt) folgt daher weiter:
992 (t) = 9** (91)
und Satz XVI ist bewiesen.
Satz XVII. Bei jeder Zerlegung von t9 in zwei absolutadditive Summanden:
(X) 9= 1 -+92
deren einer 99, stetig ist, gilt für den zweiten 99 auf jeder
Menge 9 aus M die Ungleichung:
(x ) (92, )_a( Q **, 9),
wo 9** die Unstetigkeitsfunktion von 99 bedeutet.
Sei zunächst 9** (9) unendlich. Dann gibt es zu jedem p
in 9 endlich viele Unstetigkeitspunkte a, a2,..., a, so daß:
(XXX) 99 (a)+ 99 (a2) + -+ (a) + +>.
Aus der Stetigkeit von 99i folgt:
9I(9a)=~ (t=1 2,..., n)
und mithin:
t ) (eai) -(99 (ai,).
Aus (XXX) folgt also:
I 92 ((al) + 9 () +.. * + 92 ((a) >p
und somit:
(2, ) >p.
Da dies für jedes p gilt, ist:
a (99, ~ )= +,
und (XX) ist bewiesen.
Sei sodann 9c** (9) endlich. Nach Satz XIV. ist dann die
Menge aller Unstetigkeitspunkte von 91 abzählbar, und nach Satz IX
ist sie Unstetigkeitsteil 9/** von 91, während 9 - 9** =- 9* als Stetig