Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

414 Die absolut-additiven Mengenfunktionen.
ist also v endlich, und mithin:
** (W)= z-Y= + c
entgegen der Annahme. Damit ist Satz XIII bewiesen.
So wie Satz VIII aus Satz VII folgt daraus:
Satz XIV. Ist 99 absolut-additiv und 9**(?9) endlich, so
gibt es in 91 nur abzählbar viele Unstetigkeitspunkte von -1.
Satz XV. Jede absolut-additive Mengenfunktion ist
Summe ihrer Stetigkeits- und ihrer Unstetigkeitsfunktion:
(-1-) 9 * + -99**,
und mithin (Satz XI und XII) Summe einer stetigen und
einer rein-unstetigen Mengenfunktion.
In der Tat, ist 9**(9W) unendlich, so ist wegen:
f** (1) - 9 (g**)
nach ~ 1, Satz II auch p (9l) unendlich vom selben Zeichen, so daß
in dem Falle (J) bewiesen ist.
Sei sodann ** (92) endlich. Nach Satz XIV gibt es dann in
91 nur abzählbar viele Unstetigkeitspunkte. Nach Satz IX1) können
dann Stetigkeits- und Unstetigkeitsteil 29* und 1** von 21 so gewählt werden, daß:
fl, —* +* **
Dann aber ist:
99 () -= 9 (f9*) cp (9**) = 99* (21) ^** (21),
und Satz XV ist damit in allen Fällen bewiesen.
Satz XVI. Ist die absolut-additive Mengenfunktion qp
endlich, so gibt es außer der Zerlegung (t) von Satz XV
keine andre Zerlegung von 9p in zwei endliche, absolutadditive Summanden, von denen der eine stetig, der andre
rein-unstetig ist.
Sei in der Tat:
(tt) 99 ft+932
wo p1 stetig, und c92 rein-unstetig. Ist 21 eine beliebige Menge
aus M, so ist nach Satz IX die Menge aller Unstetigkeitspunkte
von 92 zugleich Unstetigkeitsteil 92** von 21, und als Stetigkeitsteil
9W* kann gewählt werden:
(tt) * == 9 - **.
Da 99 stetig ist und 9** abzählbar, ist nach Satz VI:._____9 Mi (S*t*)= 0.
1) Man beachte Fußn. 3) zu Satz IX.