Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VI, ~ 3. Stetige und unstetige Mengenfunktionen. 413
Setzen wir:
n= - - An.91f,,
so muß also für mindestens ein n wenigstens eine der beiden Ungleichungen gelten:
ä( J), ~)>((p, O ); Y(J, ~)>t,(, ~), ~
entgegen der Annahme, 9f1 sei Stetigkeitsteil von 912.
Ebenso beweist man, daß die durch (t) gegebene Menge W9**
Unstetigkeitsteil von 91 ist, und Satz X. ist bewiesen.
Aus der Definition von 99* folgt unmittelbar:
Satz XI. Die Stetigkeitsfunktion einer absolut-additiven Mengenfunktion ist stetig.
Wir nennen eine in M absolut-additive Mengenfunktion ip reinunstetig in 91, wenn für jeden zu M gehörigen Teil e3 von 91, der
keinen Unstetigkeitspunkt von ip enthält:
Y (9) = 0
ist. Die Funktion Vi heißt rein-unstetig (in M), wenn sie in jeder
Menge 9 aus M rein-unstetig ist. Aus der Definition von 99** folgt
sofort:
Satz XII. Die Unstetigkeitsfunktion einer absolut-additiven Mengenfunktion ist rein-unstetig.
In der Tat, enthält 91 keinen Unstetigkeitspunkt, so ist der
Unstetigkeitsteil 91* leer, und mithin (~ 1, Satz I):
q* (9) = (9**) 0.
Damit ist Satz XII bewiesen.
Wir können nun Satz VII ergänzen durch die Bemerkung:
Satz XIII. Ist q~ absolut-additiv und 99**(91) endlich, so
gibt es für jedes p>O in 91 nur endlich viele Unstetigkeitspunkte von fp, für die:
(*) [~ ()a)lP>
In der Tat, gäbe es in 91 unendlich viele Unstetigkeitspunkte
von Sp, für die (*) gilt, so gäbe es ihrer auch unendlich viele - etwa
a,, a2,..., a,... - für die 99 ((a) einerlei Zeichen hat, z. B. das positive. Für die abzählbare Menge 9 der Punkte a, a,..., a,...
ist dann:
(99,)= + c.
Mithin ist die obere Schranke z, die bei Definition von 99** auftrat,
= - Co. Da mindestens eine der beiden Zahlen =r, v endlich ist,