Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

410 Die absolut-additiven Mengenfunktionen.
Satz I. Ist q9 absolut-additiv und stetig in M, so ist
füir jede abzählbare Menge W aus M:
(9)=0; a((, 9)=0;
n((,I)=-o; v(W, W) )=o.
Bestehe in der Tat W aus den Punkten ac, a., al,..., d. h.:
(000) w-a + a2o * + ea + **
(OoO) 'Jz = e, 5- ~ 5+...4 +~, +...
Da 99 stetig, ist:
(F a)=o; C(T ( a,)= 0;. (f, (a,)=; V(, a) =o..
Wegen (0~0) ist:
n n
~T (5,~ =(, ) E 2; (, a); (9, ),
womit i inlick auf () Stz VI bewieen ist.
womit im Hinblick auf (0O0) Satz VI bewiesen ist.
Satz VII. Ist p absolut-additiv und p (2W) endlich, so
gibt es für jedes p>O in Sf nur endlich viele Unstetigkeitspunkte von 9, für die:
(*) J( (Ua)> i
In der Tat, gäbe es in 2 unendlich viele Unstetigkeitspunkte
von 9, für die (*) gilt, so gäbe es ihrer auch unendlich viele -
etwa aC, a,..., a,... - für die (p (fen) einerlei Zeichen hat, z.B.
das positive:
Ist dann W die abzählbare Menge al, a,..., a,..., so ist 99 (1) =+- o,
und da 9-< 92, nach ~ 1, Satz II auch 99 (9) = — + o, entgegen der
Annahme. Damit ist Satz VII bewiesen.
Satz VIII. Ist 99 absolut-additiv und 9p(W) endlich, so
gibt es in 91 nur abzählbar viele Unstetigkeitspunkte
von cp.
In der Tat, die Menge aller Unstetigkeitspunkte von q9 in 9X
ist die Vereinigung der Mengen S9 ( =1, 2,...) derjenigen Unstetigkeitspunkte von 99 in 1, für die:
Da nach Satz VII jede Menge endlich ist, so ist ihre Vereinigung
Da nach Satz VII I ist bewies endlich ist, so ist ihre Vereinigung
abzählbar, und Satz VIII ist bewiesen.