Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VI, ~ 2. Positivfunktion, Negativfunktion, Absolutfunktion. 405
entgegen Satz III. Also ist (5) unmöglich, und die zweite Gleichung
(2) ist bewiesen.
Aus: n(p, f)=-, (t, ') + (, ( ")
folgt vermöge der ersten Gleichung (2) die erste Gleichung (3).
Ebenso folgt aus:
v(p, -)= (, S9' + v (, '")
vermöge der zweiten Gleichung (2):
(6) v (e, ~)== (f, t").
Wäre nun:
(7) Cp(1") > - (, 2"),
so gäbe es nach Satz IV in 1" einen Teil Q3", so daß:
(D")= -- (~, 9-t).
Aus: (2") = f (p") + (t" - ")
würde dann folgen:
(" - Sl") > 0,
was wegen Satz III in Widerspruch steht mit der ersten Gleichung (3).
Also ist (7) unmöglich, und wegen Satz III ist:
(8) 99 (%") =- -v(, 2".).
Durch (6) und (8) aber ist auch die zweite Gleichung (3) bewiesen,
und der Beweis von Satz IX ist beendet.
Satz X. In der Bezeichnungsweise von Satz IX gilt für
jeden zu M gehörigen Teil 3' von A2' und für jeden zu M
gehörigen Teil 23" von 2":
(t) In der Tat, nach (S') > 0; 9 (2")< 0.
In der Tat, nach Satz IX ist:
v(Q, 21')=; r(p, 2") 0,
mithin nach Satz VIII auch:
(p, S3')=0; 2(p, 33") 0.
Also folgt (t) aus Satz III.
Satz XI. Ist 99 absolut-additiv im a-Körper M, so ist
für jede Menge 21 aus M:
a(f', X) )= 7z(, 2)+v(, 1).
In der Tat, für jede Zerlegung Z von 29 ist:
A (Z) P(Z) -+ N(Z),