Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VI, ~ 2. Positivfunktion, Negativfunktion, Absolutfunktion. 403
also -nach Satz III:
~(~')_=- ~,(<, ~).
Damit ist Satz IV bewiesen.
Satz IV kann auch so ausgesprochen werden:
Satz IYa. Unter den Werten, die fq für die zu M gehörigen Teile von SI annimmt, gibt es einen größten 99(I')
und einen kleinsten (l5"), und zwar ist:
9 ()= = ) (f, ); f (9")=- v (t, ).
Satz V. Ist 9p absolut-additiv im a-Körper M, so ist
für jede Menge 9f aus M mindestens eine der beiden Zahlen
n (9, 9f) und Q (99, 9) endlich.
In der Tat, andernfalls gäbe es in M zufolge Satz IV zwei
Mengen 59' und 5", für die Tp entgegengesetzt unendliche Werte annimmt, was wir ein für allemal ausgeschlossen haben.
Satz VI. Sind 91 und T9 zwei in M absolut-additive
Mengenfunktionen, die für keine Mengen aus M entgegengesetzt unendliche Werte annehmen, so ist:
(91 + 992, ) t )-( 1, x) + V(92, );
a(9 + 92, ) ) ~ ( 1, ) + (99, X);
Es wird genügen, die erste dieser Ungleichungen zu beweisen.
Seien 1, 2,, solche (zu M gehörige) Teile von 9, für die p1, 9, 99 -99 -ihren größten Wert annehmen (Satz IVa). Dann ist:
(91'() ~ 9(91 ) = n (91) 9); 9 '( ) 992(2) - ^ (992 9),
also:
(991 + 9 t1) 991(SW1) + 992 (9{ ) ~ (991, 9) + a (992, 91),
wie behauptet.
Satz VII. Ist 9' absolut-additiv im a-Körper M, so ist
auch jede der drei in M definierten Mengenfunktionen
(7, A), v(p, 9), a(99, 91) absolut-additiv in M.
Es geniigt wieder, dies für.(X, IX) nachzuweisen. Wir haben
zu zeigen: ist {i,.} eine Folge zu je zweien fremder Mengen aus M,
und ist:
so ist:
(*) s (t), ) ~= (?, 1) + ' (9, %2) +... +n (t, ) +-....
Nach Satz IV gibt es in 91 und 91 Teile 1' bzw. 1i, so daß:
(')= n (t ); f(5) = (t, ) 26*
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