Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

402 Die absolut-additiven Mengenfunktionen.
ft ' "C1S 2 * * * " t."
[t Yt2.. ~ 4t
wobei:
Mo,) s_ 9(,v+l),tit, g.....,,V -- 0 l,,,2' 2/ 9 r
Bezeichnen wir nun mit S2' die Vereinigung aller jener?u 2z,./.."u für welche > 0 ist, so ist offenbar:
/1,/,2,..., /zv
P(ZV) 99 (.4tt P2.tl, ) 9f)
Wir bilden nun die untere Gemeinschaftsgrenze:
9'=lim 2t'.
Setzen wir:
(4) \ n
so ist:
(5) '= 4-t + +-... +- -,...
Nun ist offenbar'):
p(tV,",l) __> ~(~, +),
also, da ',o= 9' ist (bei Beachtung von (3)):
(6) (,a) ) ) P(Z) > 0.
Wegen (1) sind aber alle (p(9I,,) endlich. Nach ~ 1, Satz V folgt
also aus (4) und (6):
(7) (pW = lim 99 (',,) _ P(Z).
t =_
Aus (5) folgt nach ~ 1, Satz IV:? (') =lim (9')?, = 00
und mithin wegen (7) und (2):
- _(_') ~ r(z, Q),
1) In der Tat, es ist:
-,, =v) ( ',,tz+ ) + g (~', -C, +3)
Hierin ist SV, - - l,,+ die Vereinigung aller in S9 2 enthaltenen
9 2. +?'+,l) von Z,++ für die:
~.1,,, A,.. + + 1
Wr(+ iiq 1- 1)
u n1 22 i..g. ede+ is
und infolgedessen ist:
97(S<, ~G- ,+ ) io.