Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VI, ~ 2. Positivfunktion, Negativfunktion, Absolutfunktion. 401
a(t(9), ' = (, )= (=); v (,5)=O0;
ist sie nicht-positiv für alle % von M, so ist:,((,,)= V (t, )= - (); (t,,)= 0.
Satz III. Aus 83 -<E folgt, wenn 51 und 3 zu M gehören:
- V (,5 W)__ - (0)__ ( 7 (, 5).
In der Tat, durch
- 5=3 4- (2 - ( 3)
ist eine Zerlegung Z von 9/ gegeben, und es ist:
(e) < (9) P(Z) < (, < ),
womit die eine Hälfte der Behauptung bewiesen ist. Analog beweist
man die andere Hälfte.
Satz IV. In jeder Menge 51 aus M gibt es zu M gehörige
Teile 9I' und 92", so daß:
7(p, 5) = f (5'); v (q, ) = _ p(w").
Es wird genügen, die erste Hälfte dieser Behauptung zu beweisen. Dabei können wir immer annehmen, für jeden (zu M gehörigen) Teil 5 von 2 sei:
(1)9() < + oo.
In der Tat, wegen (Satz III):
ist dies sicher der Fall, wenn n (9p, X) endlich. Ist hingegen
(99, ) ==+ —oo, und gäbe es in 9f einen Teil 3, für den auch
p ( )-= — oo, so wäre die Behauptung von Satz IV schon bewiesen.
Zufolge der Definition von r(qC, 92) gibt es eine Zerlegungsfolge
{Z,} von 51, so daß:
(2) lim P(Z,;) = (99, ).
v= o
Dabei können wir immer annehmen, es sei Z, + Unterzerlegung
von Z,; denn wäre dies nicht der Fall, so hätten wir nur, wenn
Z, und Z,,+1 gegeben sind durch:
t=S T,; s wi( +)
die Zerlegung Z,+l zu ersetzen durch:
-= S 9().("+1)
5l=S<*</ ~ ~+,'
M, yG~
Ist nun (für jedes v) Z"+l Unterzerlegung von Z,, so kann die
Zerlegung Z, geschrieben werden:
Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 26