Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

400 Die absolut-additiven Mengenfunktionen.
Da Z' Unterzerlegung von Z, ist jede Menge, von Z' Teil
einer Menge Wy von Z. Bezeichnen wir alle 7," die Teile von 7,
sind, mit 79,a, so ist:
(*) == S WV, A; t=S t, A
A V, A
Wegen der zweiten, dieser Beziehungen ist:
(**) P (Z') =2 (L, A) 2 (2 f ( v, A))
v,i l v A
Wir behaupten: Hierin ist
+ (S-,A) >(SX).
Dies ist nach (00) trivial, wenn 9q(tQ)< 0, da dann (2v)==0.
Ist hingegen 9 (S,) > 0 und mithin:
f)= (gv) - ),
so folgt aus der ersten Beziehung (*):
()-f(~t) = 9(Wv, A) _ 9(Luv, A) Z
99 AGA
Mithin ist wegen (**):
P(Z)=> (w) ~ 2 C2 (," )~ P (Z),
v;v A
womit Satz I bewiesen ist.
Sei nun 9 eine in M absolut-additive Mengenfunktion, 7 eine
Menge aus M. Zu jeder Zerlegung Z von 2f bilden wir die Summen
P(Z), N(Z), A(Z). Die obere Schranke aller dieser Summen') P(Z)
nennen wir den positiven Teil von f0 auf 7 und bezeichnen sie
mit zn(, 1); die obere Schranke der N(Z) nennen wir den negativen Teil von fp auf 7 und bezeichnen sie mit v(Q, W); die
obere Schranke der A(Z) nennen wir die absolute Summe2) von (p
auf 91 und bezeichnen sie miit a(9, A9). Jede der drei Zahlen
n (99, 1 9), v (9 (, ) (, a ) ist > 0. Aus dieser Definition folgt unmittelbar:
Satz II. Ist die in M absolut-additive Mengenfunktion
9p nicht-negativ für alle 1 von M, so ist:
1) Man erhält dieselbe obere Schranke, wenn man nur die Zerlegungen Z
von 9 in endlich viele Summanden in Betracht zieht.
2) Vgl. hierzu H. Lebesgue, Ann. ic. Norm. (3) 27 (1910), 380ff.
J. Radon, Wien. Ber. 122 (1913), 1299ff. Bei Lebesgue und Radon wird
sie als Variation bezeichnet. Wir vermeiden diesen Ausdruck, weil wir sonst
in Kollision mit dem eingebürgerten Ausdrucke "Variation einer Funktion
einer Veränderlichen" kämen. Vgl. Kap. VII, ~ 5, S. 496.