Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VI, ~ 2. Positivfunktion, lNegativfunktion, Absolutfunktion. 399
o-Körper, den wir als den erweiterten o-Körper M bezeichnen
wollen. Erweitern wir nun die Definition von 5p auf M durch:
(xxx) <( )='(),
so ist f9 offenbar auch in M absolut-additiv, und wir haben:
Satz IX. Ist die nicht-negative Mengenfunktion p9 absolut-additiv im o-Körper M, und bilden wir den erweiterten
u-Körper M aller Mengen (XX), so ist die durch (XXX) auf M
erweiterte Mengenfunktion f9 auch absolut-additiv in M.
~ 2. Positivfunktion, Negativfunktion, Absolutfunktion.
Sei {(g} eine (endliche oder unendliche) Folge zu je zweien
fremder Mengen aus dem a-Körper M. Wir sagen: die 9, bilden
eine Zerlegung Z der Menge 9 aus M, wenn:
(0) - = + +- + +....
Eine zweite Zerlegung Z' von 9:
= t- +2 +. + +....
heißt eine Unterzerlegung von Z, wenn jede Menge X' Teil einer
Menge is, ist.
Sei fp eine im a-Körper M absolut-additive Mengenfunktion, sei
2f eine Menge aus M, und sei durch (0) die Zerlegung Z von 2 gegeben. Wir setzen:
wenn p( f") 0
ion ( _) = <^)(o
(,) = 0 wenn (Ws) < O
(00).(~((00) fAJ0 wenn 99(9I,,) > 0
() -- \pQ(SP)I wenn 9(9Sv)<0
und bilden die Summen:
Op () = (Z;v vz f (, )
(~) A~(Z)=~ ( (Z).
Dann ist offenbar:
(o00) A(Z)=P(Z)+N(Z); p()=P(Z) - N(Z).
Satz I. Ist Z' Unterzerlegung von Z, so ist:
P(Z') > P(Z); N(Z') > N(Z); A(Z') > A(Z).
Es wird genügen, die erste dieser Ungleichungen zu beweisen;
denn die zweite beweist man ebenso, und die dritte folgt dann
aus (000).