Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VI, ~ 1. Additive und absolut-additive Mengenfunktionen. 397
und mithin nach Satz IV:
(t) ==lim f (,).
Da %, >-, und p nicht-negativ, ist nach Satz III:
f () f (v) p
und mithin:
9p () =lim t (p)) m - (,)l im () im (pV),
Y==cf VOO
wie behauptet.
Satz VII. Ist die nicht-negative Mengenfunktion p absolut-additiv im a-Körper M, und ist {9,} eine Folge von Mengen aus M, für deren Vereinigung fp (91 — -2*-...- '. *.)
endlich ist1), so gilt für die obere Gemeinschaftsgrenze?
von {'}:
(9) > im r (W9,).
In der Tat, nach (tt) ist:
=-1 * 2 * 1.... '. Sv'..
Wegen:
ist p (pv) endlich (Satz II), und es ist daher nach Satz V:, (9) lim q (S).
Da 9,,- <% und qg nicht-negativ, ist:
47 ($y)~ > f (xv)
und mithin:
f (t) = lim f (Lv) = lim f (L,) > lim 5P (g/),
vy=or y=W=o Y=o
wie behauptet.
Wir beweisen endlich noch einen Satz, der die Sätze IV und V
als Spezialfälle enthält:
Satz VIII. Ist die nicht-negative2) Mengenfunktion p
absolut-additiv im a-Körper M, und ist {(}, eine kon1) Diese Bedingung kann nicht entbehrt werden. Beispiel: Sei M die
Gesamtheit der Borelschen Mengen des I9 und p der lineare Inhalt; ist dann
KY das Intervall [v, -+ 1], so konvergiert {(9} gegen die leere Menge 2, es
ist also auch 91-== und mithin
(),)= =i; (w)= 0.
2) Der Satz gilt auch ohne diese Einschränkung: ~ 2, Satz XVII.