Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

396 Die absolut-additiven Mengenfunktionen.
und mithin:
9 (t)- ( 1) + ( (2)- 9 (W)) + *** + ((, (V)- 9 (OS- )) + * * *
-lim (9),
wie behauptet.
Satz V. Ist f absolut-additiv im a-Körper M, ist % der
Durchschnitt der monoton abnehmenden Mengenfolge {(I},
und sind nicht alle 99(2) unendlich'), so ist:
99 ()-lim f (9,).
In der Tat, es ist:
(ttt) x= + (j - Wo) + (Ws - ) +...+ (, - 4+1) + *
Wir können ohne weiteres (indem wir nötigenfalls endlich viele,
weglassen) annehmen, 9 (9,) sei endlich. Dann sind nach Satz II
99 () und alle q'(Sf) endlich, und aus (ttt) folgt:
9, (t)= -9 (g1) - {(9 (,1)- (t (S2))
- ( ( 2) - 9 (3)) -+ * * + (t (9L)- 9 (i+1)) + 9.. ) - lim 9 (IV )
V=-oo
wie behauptet.
Wir beschränken uns nun auf nicht-negative Mengenfunktionen:;9~0.
Für diese gelten die Sätze:
Satz VI. Ist die nicht-negative2) Mengenfunktion P9
absolut-additiv im a-Körper M, und ist 9 die untere Gemeinschaftsgrenze der Mengenfolge {%,} aus M, so ist:
99 (%) < lim p (,,).
y=- oo
In der Tat, benutzen wir wieder die Bezeichnungsweise (t), so
ist nach (tt):
~) Dieser Zusatz kann nicht entbehrt werden. Beispiel: Sei ) eine nicht
abgeschlossene Punktmenge und (91) die Anzahl der Punkte von 91.9S. Ist
a ein Punkt von 91~-9 J und 9v = 1 (a; 1), so ist
(V)= + ~, (1. - -.......) = 0.
9) Diese Einschränkung kann nicht entbehrt werden. Beispiel: Sei M
die Gesamtheit aller Borelschen Mengen des 11 und 9p der negativ genommene
lineare Inhalt (~ 8). Ist dann g2y_x das Intervall [0, 1] und %2v das Intervall
[- 1, 0], so besteht 91 nur aus dem Punkte 0, und es ist:
-T 1 =-i (KW ==0.