Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. VI. ~ 1. Additive und absolut-additive Mengenfunktionen. 395
1~ */.. * 9 *,..... I,.- * *.....* ' ~ ~ ~
_1 - {()1 2-,)+ ( _ - ~) +... + (<,_- <+-) +..,}
woraus man die Behauptung unmittelbar abliest.
Ist M ein a-Körper, so kommen neben jeder Mengenfolge {gl,}
auch deren obere und untere Gemeinschaftsgrenze lim 9f und
lim 92, in M vor. In der Tat, setzt man: "'=
1' 00.,/ S^=^*,+1....,
so ist (Einleitung ~ 1, Satz IV):
lim -,...0;
(*) lim ~, = - F + ', -...4*+ - +- -...,
l'= 30
woraus wieder die Behauptung unmittelbar folgt.
Eine in einem a-Körper M definierte additive Mengenfunktion
heißt absolut-additiv1), wenn für jede Folge {Jä,} zu je zweien
fremder Mengen aus M die Gleichung gilt2):
( + +...++.- +-) )+ (= ( +- (.+ P (W')+.
Satz IV. Ist t absolut-additiv im a-Körper M, und ist
9 die Vereinigung der monoton wachsenden Mengenfolge
{9,} aus M, so ist:
(==)-lim f (~f,).
v =00
In der Tat, die Behauptung folgt aus Satz II, wenn es unter
den Mengen 9, eine gibt, für die q(X,,) unendlich ist. Seien also
alle g?(9,,) endlich. Es ist:,= +(t - - )+...+(s- ~,,_1)+4..
1) Diese Bezeichnung stammt von J. Radon (Wien. Ber. 122 (1913),
1299), der Begriff von H. Lebesgue, a. a. O. - Man erhält eine gute Veranschaulichung der absolut-additiven Mengenfunktionen, indem man eine solche
Funktion als Massenbelegung (mit positiver und negativer Masse) deutet; ( (91)
ist dabei die von der Menge 91 getragene Masse.
2) Natürlich muß in der folgenden Gleichung die rechte Seite (ebenso wie
die linke) einen von der Anordnung der Summanden unabhängigen Wert haben.
Bekanntlich ist das dann und nur dann der Fall, wenn sei es die Reihe der
positiven, sei es die Reihe der negativen unter den 9 (92,) eigentlich
konvergent ist. Im Falle, daß auch die Reihe der fq (2,) selbst eigentlich
konvergiert, heißt das: die Reihe der a (2Sy) ist eigentlich konvergent, mit
andern Worten: die Reihe der 9p (2f) ist eigentlich absolut-konvergent.
Daher rührt auch der Name: "absolut-additive Mengenfunktion".