Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. V, ~ 14. Funktionen mehrerer Punkte. 387
weil die Menge der Punkte (*) dicht in W:
r (a,)< ifür fast alle v.
Für alle außerhalb U1(a; ) liegenden Punkte a" von f ist aber dann:
r(a, a") > 3r( a, 4).
Nach (3) von Kap. II, ~ 5, Satz VIII haben daher die Werte t = f(a,)
die f in den außerhalb U (a; 9) gelegenen Punkten (*) annimmt, auf
den Wert F, (a) gar keinen Einfluß; sie können also, ohne daß sich
F,(a) irgendwie ändert, durch beliebige andere ersetzt werden, insbesondere also auch durch solche, die der Ungleichung genügen:
(00) ti -f (a) < e.
Wegen (0) liefern aber auch alle nach U (a; Q) fallenden Punkte (*)
Werte t~, die (00) genügen. Wegen (*) von Satz I ist also:
F,(a)- f(a)|<e für fast alle v.
Damit aber ist Satz III bewiesen.
Satz IV. Ersetzt man in Satz I die ti durch Funktionen
f,(b), die stetig sind auf einer Punktmenge 58, so werden aus
den F, Funktionen F,(a,b) die stetig sind auf 9X><9.
In der Tat, wir haben zu beweisen: ist {aj} eine Punktfolge,
a' ein Pund {} eine Punktolge, ein kt aus,
und ist:
lim a a'; lim b b=',
k-X k-a
16 = oo ie = co
so ist auch:
(t) lim F, (a(, b) =- F, (a', b').
= 00oo
Wir können, wie beim Beweise von Kap. II, ~ 5, Satz VIII annehmen, daß alle f,(b) der Ungleichung genügen:
(t-f) ~fn(b) < 1.
Ist e> 0 beliebig gegeben, so ist dann für fast alle k:
If, \(b) (n 1,2,..., ),
also nach Satz II auch:
| F(a, bk) - F,(a, b') \ < E auf l,
d. h. die Folge der F,(a,bk) (k= 1,2,...) konvergiert gleichmäßig
auf SC gegen F,(a,b'). Nach Kap. IV, ~ 3, Satz III ist sie daher
auch stetig konvergent in a' auf 9f, und aus Kap. IV, ~ 2, Satz IV
folgt das Bestehen von (t). Damit ist Satz IV bewiesen.
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