Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

386 Die Baireschen Funktionen.
mithin:
(fa~ 9a) t
und daher weiter:
(***) Fv 4tv auf ganz 9.
Durch (***) und (***) aber ist (**) bewiesen, und der Beweis von
Satz I ist beendet.
Satz II. Genügen die t^ in Satz I den Ungleichungen:
O t_ (n =l,2,...),
und ersetzt man sie durch Zahlen t' die den Ungleichungen
genügen:
(x) Ot ^ <-8; ~_t'< (n- l,2,...),
(x) I t& - t, 1 < e; o=< tl, s,
wodurch F, in F' übergehen möge'), so ist:
(xx) F',,-F, <e auf ganz 92.
In der Tat, habe wieder f die Bedeutung (**), und sei f' definiert
auf 29 durch:
f'(a,) =t (n= 12,..., ).
Sowohl aus f als auch aus f' leiten wir nach (4) a. a. 0. eine Funktion fa bzw. f' her. Aus (X) folgt offenbar:
I fa~ ' < auf ganz 2,.
Daraus aber folgt weiter:
I G(fa, 4)- G (f't, )i <E,
und daraus weiter (xx), womit Satz II bewiesen ist.
Satz III. Ist f eine auf X stetige Funktion, und setzt
man in Satz I:
tn = f (a"),
so gilt auf ganz 91:
f==lim F.
V= 00
Beim Beweise können wir, vermöge der Schränkungstransformation,
f als endlich annehmen. Sei a ein Punkt von 91. Ist e > 0 beliebig
gegeben, so gibt es wegen der Stetigkeit von f ein p> 0, so daß
für alle a' der Umgebung 1 (a; p) von a in 91:
(0) If(a- f (a' ) < \ e.
Bezeichnet wieder X, die Menge der v Punkte a., a2,..., a", so ist,
1) Hier, wie im Folgenden, bedeutet {FY} die im Beweise von Satz I aus
den tn konstruierte Funktionenfolge, {F',} die in derselben Weise aus den t,'
konstruierte Funktionenfolge.