Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. V, ~ 13. Unvollständige Bairesche Funktionen. 381
Die Konvergenzmenge von {f,} in 9 aber ist die Menge aller Punkte
von 1, in denen der Ausdruck (*) =0 ist. Also ist sie nach ~ 7,
Satz I1) höchstens eine Menge Ig+-2, und Satz I ist bewiesen.
Satz II. Ist {f,} eine Folge Bairescher Funktionen auf
X, so ist die Konvergenzmenge von {f,} in 91 eine Borelsche
Menge.
In der Tat, ist f, von a,-ter Klasse, und a>cta für alle v
(Einl. ~ 4, Satz XIII), so ist nach Satz I die Konvergenzmenge von
{fh} höchstens eine Menge 4+ 2, und Satz II ist bewiesen.
Sei zunächst {f,} eine Folge auf X stetiger Funktionen, 9 ihre
Konvergenzmenge in 9. Ist ) —= 9, d. h. ist (f,} auf ganz 9 konvergent, so hieß die Grenzfunktion f= lim f, (wenn sie nicht stetig,
d. h. von nullter Klasse auf 9 ist) eine Funktion erster Klasse auf 9.
Wir wollen nun auch den Fall in Betracht ziehen, daß 9J) echter
Teil von 91 ist, und setzen fest: Die auf 9SD durch f —limf, definierte Funktion heißt (wenn nicht u9) - und f stetig auf 9 ist)
eine unvollständige Bairesche Funktion erster Klasse auf 912).
Nun definieren wir durch Induktion den Begriff der unvollständigen Baireschen Funktion a-ter Klasse für alle a> 1 der
ersten und zweiten Zahlklasse. Sei {fv} eine Folge unvollständiger
Bairescher Funktionen auf 9 von geringerer als a-ter Klasse. Ist
91, der Teil von 9, auf dem f, definiert ist, so ist die ganze Folge {fv}
definiert auf dem Durchschnitte
-- ~. ~...... ~,...
Ist D9 die Konvergenzmenge von {f,} in Z, so ist durch f- lim f,
V = 00
auf 9) eine Funktion definiert, die wir (falls sie nicht eine unvollständige Bairesche Funktion geringerer als a-ter Klasse auf 9 ist)
als unvollständige Bairesche Funktion a-ter Klasse auf S
bezeichnen wollen.
Der Gleichförmigkeit halber setzen wir noch fest: Eine unvollständige Bairesche Funktion 0-ter Klasse auf 9 sei dasselbe wie
eine Bairesche Funktion 0-ter Klasse auf 9, d. h. eine auf ganz
W definierte und stetige Funktion.
) Man hat dort p = q 0 zu setzen.
2) Wie man sieht, sind die Baireschen Funktionen erster Klasse als
Spezialfall hierin enthalten, nämlich wenn Du == und f nicht stetig auf 91.
Auch im Falle, daß b0 leer ist, sprechen wir - in uneigentlichem Sinne -
von einer (nirgends auf $I definierten) unvollständigen Baireschen Funktion
erster Klasse,