Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

380 Die Baireschen Funktionen.
Nunmehr gehen wir wieder über zu beliebigen metrischen
Räumen und können Satz V in folgender Weise verallgemeinern:
Satz VII. Auf jeder relativ-vollständigen Menge X,
deren insichdichter Kern K nicht leer ist, gibt es für jedes
a aus ß, -+32 Bairesche Funktionen a-ter Klasse.
Nach Kap. I, ~ 4, Satz VI ist e abgeschlossen in 9t, also ein
o-Durchschnitt in 91, und da 9 relativ-vollständig, ist k ein o-Durchschnitt in einer vollständigen Menge. Nach Kap. I, ~ 8, Satz VI
und VII gibt es daher in S, und somit in 9I einen Teil '), der umkehrbar eindeutig und stetig auf die Menge w von Satz VI abgebildet werden kann. Zu jeder Funktion f auf 93t gehört vermöge
dieser Abbildung eine Funktion g auf ), so daß f und g in entsprechenden Punkten von 93 und ' dieselben Werte annehmen.
Wegen der Stetigkeit der Abbildung sowie ihrer Umkehrung sind
die beiden Funktionen f und g stets gleichzeitig stetig und daher
auch gleichzeitig von a-ter Klasse.
Da es nun für jedes a aus 31+32 auf 9 Funktionen a-ter
Klasse gibt (Satz VI), so auch auf i. Wäre nun auf 9 jede
Bairesche Funktion von geringerer als a-ter Klasse, so erst recht
auch auf '). Da dies aber nicht der Fall ist, gibt es auf 9 Funktionen a-ter Klasse, und Satz VII ist bewiesen.
~ 13. Unvollständige Bairesehe Funktionen.
Ist {f4} eine auf 91 definierte Funktionenfolge, so bezeichnen
wir die Menge aller Punkte von 91, in denen {f,} konvergiert, als
die Konvergenzmenge von {ff} in 9/.
Satz 1. Ist {ff} eine Folge Bairescher Funktionen auf
91 von geringerer als a-ter Klasse, so ist die Konvergenzmenge von {f,,} in 1 höchstens eine Menge S+,-2).
In der Tat, vermöge der Schränkungstransformation können wir
{f} als beschränkt annehmen. Nach ~ 1, Satz XII sind lim f,, und
lim fy von höchstens (c- + )-ter Klasse; dasselbe gilt dann auch
V = GO
von der Differenz:
(*) lim fV — lim f,,.
V r=_ C O Vj 00
1) Von diesem Satze gilt auch die Umkehrung: Ist 9)1 höchstens eine
Menge Sa-2a in 9m, so gibt es eine Folge {fv} von Funktionen geringerer als
a-ter Klasse auf 91, deren Konvergenzmenge 9) ist. Wegen des Beweises
verweisen wir auf H. Hahn, Arch. d. Math. u. Phys. (3) 28 (1919), 34.