Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Einleitung. ~ 5. Grenzwerte reeller Zahlen. 27
Nach Satz XVI kann daher nicht a > b sein. Damit ist Satz XXI bewiesen.
Satz XXII. Aus a>, b> c (oder a b, b > c) folgt:
a>c.
In der Tat, seien a, b, c die Mächtigkeiten von W, 3, (. Angenommen, es wäre a <c. Dann gäbe es eine eineindeutige Abbildung A, von f auf einen Teil C' von (Z. Wegen b c gibt es
eine eineindeutige Abbildung A2 von G auf einen Teil von B.
Aus A1 und A, ließe sich eine eineindeutige Abbildung von 9/ auf
einen Teil" von S zusammensetzen, d. h. es wäre a b, was nach
Satz XXI in Widerspruch steht zur Annahme a>b. Damit ist
eine Hälfte von Satz XXII bewiesen.
Angenommen nun, es sei a >, b6>c. Wäre c >a, so würde
nach dem schon bewiesenen aus b >c, c. a folgen b > a, was nach
Satz XXI der Annahme a> widerspricht. Damit ist Satz XXII
bewiesen.
Satz XXIII. Aus a>b, b>c folgt:
a > c,
In der Tat, wäre c > a, so würde aus b 5 c, c > a nach Satz XXII
folgen: > a, entgegen der Annahme a> b.
Die reellen Zahlen.
~ 5. Grenzwerte reeller Zahlen.
Den Begriff der reellen Zahl und die einfachsten Lehrsätze
über reelle Zahlen setzen wir als bekannt voraus.
Wir fügen zu den endlichen reellen Zahlen noch die beiden
unendlichen Zahlen -- oo und -oo hinzu1), und setzen folgende
Rechenregeln fest, in denen a eine endliche reelle Zahl bedeutet:
1. Addition und Subtraktion:
a+ (t+co) - a- oo=+co; (+c ) + a + ~~oo;
a + (- oo) = a- o -; ( - o o) +- a = - Po;
1) Diese Erweiterung des Systems der reellen Zahlen durch Hinzufügung
~uneigentlicher" Elemente erweist sich als für die Theorie der reellen Funktionen zweckmäßig. Bekanntlich nimmt man in der Theorie der analytischen
Funktionen einer komplexen Veränderlichen eine andere Erweiterung vor, indem man dort zu dem System der reellen und komplexen Zahlen ein einziges uneigentliches Element oo hinzufügt.