Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. V, ~ 12. Existenz von Funktionen a-ter Klasse. 377
~Funktion höchstens erster Klasse" und damit für ac> 1 auch der
Begriff ~Funktion a-ter Klasse" dabei ungeändert.
Wir führen den Beweis von Satz IV durch Induktion. Für
a 1 ist (in der neuen Terminologie) die Behauptung richtig zufolge Satz III. Wir nehmen sie als richtig an für alle ß< a und
zeigen, daß sie dann auch für a zutrifft.
1. Fall: a ist eine isolierte Zahl. Nach Annahme gibt es
eine Bairesche Funktion im Einheitsquadrate der x u-Ebene, g (x, u),
aus der jede Bairesche Funktion g(x) geringerer als (a- 1)-ter
Klasse in [0, 1] erhalten werden kann, indem man der Veränderlichen u einen festen Wert erteilt.
Nach Kap. II, ~ 7, Satz IV gibt es eine Folge in [0, l] stetiger,
den Ungleichungen
o < u (t) _ 1
genügender Funktionen von t, derart, daß die Folge {ui(t)} für
mindestens einen Wert t aus [0, 1] übereinstimmt mit einer beliebigen
Folge {u}, in der
O _< ~ (=i, 2,...).
Wir bilden nun die Folge der Funktionen
g(x, ui (t)) ( 2,.).
Nach ~ 1, Satz V sind es Bairesche Funktionen im Einheitsquadrat
der x t-Ebene. Nach ~ 1, Satz XIV ist daher auch:
f(x, t) - lim g (x, ui (t))
eine Bairesche Funktion. Wir behaupten: es ist die gesuchte.
Sei in der Tat f(x) eine beliebige Funktion geringerer als
a-ter Klasse in [0,1]; es ist also:
k(***) f(x) lim gi(x),
s= 00
wo die g (x) von geringerer als (a- 1)-ter Klasse in [0,1]. Es
gibt daher ein ui in [0,1], so daß:
g, (x) g (x, u).
Es gibt weiter ein to in [0,1], so daß:
i =i) (to) i 2,...),
und somit:
gi (x) - g (X, Ui (to)).
Nun geht (***) über in
f(x) = lim g (x, ui (t))= lim g (x, ui (t0)) = f(x, t0),
i =de Bg = is
und die Behauptung ist bewiesen.