Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. V, ~ 12. Existenz von Funktionen o-ter Klasse. 375
Wir betrachten, wenn 1 eine natürliche Zahl ist, die Menge aller
jener in [0,1] stetigen Funktionen h() (x), die in den Punkten
(i- 0, 1,..., l) rationale Werte aus (- 1, 1) annehmen und in den
Intervallen 1[ _ J (i 1,2,.... ) linear variieren. Diese Menge
ist gleichmächtig mit der Menge aller Belegungen der 1-+ 1 Punkte
Z (i=O,1,...,i) mit der Menge der rationalen Zahlen aus (-1,1),
hat also die Mächtigkeit No+1=-o, d. h. es gibt (bei gegebenem
1) abzählbar viele Funktionen h( (x). Also ist auch die Menge all er
Funktionen h(1)(x) (1= 1,2,...) abzählbar und kann also in der
Form (0) angeschrieben werden.
Sei nun k eine beliebige natürliche Zahl. Nach Kap. II, ~ 4,
Satz IX gibt es ein 1, so daß für jedes x aus -I-, [J:
(00) f (x) f <
insbesondere also auch:
(000) f( -)-f <) <.
Unter den Funktionen h() (x) gibt es solche, deren Werte an den
Stellen - den Ungleichungen genügen:
( ~): r) h(1I) <k (t.
Sei h"* eine solche Funktion. Aus (000) und (000) folgt:
3
hk -hnk ik'
und da hn (x) linear ist in [ >,, gilt für alle x dieses Intervalles:
(000) k (x) - h ( ) < *
Aus (00), (000o) und (000) aber folgt für alle x aus [0, 1]:
f(X)- h () 1<
d. h. die Folge {hk (x)} konvergiert in [0, 1] gleichmäßig gegen
f(x). Damit ist Satz I bewiesen.
Satz II. Auch jede Funktion f(x) höchstens erster
Klasse in [0,1] ist Grenzfunktion einer Teilfolge aus (0).