Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. V, ~ 11. Funktionen dritter Klasse. 371
bezeichnen mit 9(1) (1 ==1, 2,...) einen a, enthaltenden perfekten und in 9(
nirgends dichten Teil von Si. Die Vereinigung
i ( 1)_ i~ ' +V1 ~ '~*
ist dann dicht in 9. Dabei können wir je zwei W(l) als fremd annehmen ).
Wir denken uns sodann einen abzählbaren, in 9(1) dichten Teil von (1)
gegeben: al, (v 1, 2,...). Wir bezeichnen mit i(2) einen perfekten und
in X91( nirgends dichten Teil von 2t(1) der den Punkt al, y2 enthält. Die Vereinigung:
v1 11 + 1,2+ '1 2
ist dann dicht in A1(). Dabei können wir je zwei 9[I(2) als fremd annehmen.
Indem wir so fortfahren, erhalten wir Mengen (i) von folgenden
' i!, ~ ' i ' ~ ~'
Eigenschaften: Es ist (1 i+l) y2. + ein perfekter und in 91()... nirgends
dichter Teil von 9(),..,? und es ist die Vereinigung:
w(i) __ 1+i) 4+ +9(i+1) 4-.i(+1), 2,...,ri ''), 12,*.2 *t '1, )S'2.... * * ' ' '*
dicht in 9f(i) Je zwei (i+l) sind fremd2).
rx, ~'~ 1.~....i ' ~[~x, V 'a..... 2 i+l
Bezeichnen wir noch mit 1(i) die Vereinigung aller 1(0),*,. (v,, a....
v -1, 2,...), so ist (Kap. I, ~ 4, Satz IX) jede Menge 9(i) dicht in 9s, und
endlich ist:
Der Durchschnitt:
gto(w) - 9(1) 9(2).....91()...
ist dann nicht leer, da nach Kap. I, ~ 2, Satz VIII die Folge abgeschlossener
Mengen
(1) >-!I),,>2 *. >.., ".....,i >..
mindestens einen gemeinsamen Punkt enthält.
1) In der Tat, man konstruiere 1(1) nach dem Verfahren von Kap. I, ~ 8,
Satz VIII, indem man unsern Punkt a., falls er nach U (ai; e) (i = 0, 2) fällt,
als Punkt ail, wählt, ebenso den Punkt a3, falls er nach 11(ai, i2; e2)
(i, i == 0, 2) fällt, als Punkt ai,, i, i, usf. Dann enthält 9(1 keinen der Punkte
a2,a3,... Der Punkt an hat also von 91(1) positiven Abstand Q. Nun konstruiere man die Menge 91() in U (a2; ), und so, daß sie die Punkte a, a...
nicht enthält. Dann hat a3 von (1-) + 9() positiven Abstand a. Man konstruiere die Menge [(1) in U (a3; o), und so, daß sie die Punkte a4, aa,.. nicht enthält usf. Je zwei Mengen (t) (v = 1, 2,...) sind dann fremd.
2) Es würde übrigens für das Folgende genügen, wenn der Durchschnitt
je zweier dieser Mengen in jeder von beiden von erster Kategorie ist.
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