Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

Kap. V, ~ 10. Funktionen erster und zweiter Klasse. 369
f=1 auf Ö; f-=0 auf -3,
so ist also f nach ~ 7, Satz I von höchstens zweiter Klasse auf {.
Da jeder Punkt a, in 3 vorkommt, ist 3 dicht in 9. Da 8
von erster Kategorie in 1 ist, ist l - -3 dicht in % (Kap. I, ~ 8,
Satz XIV), also ist f total-unstetig auf 9f, und mithin nach Satz II
wirklich von zweiter Klasse auf A1.
Sei, irgendeine offene Menge, die einen Punkt von % enthält.
Jede der beiden Mengen S S und L (1 - 3) hat dann die Mächtigkeit c (Kap. I, ~ 8, Satz XII, XV, VI). Ist also W irgendein abzählbarer Teil von 2, so sind B -91W und (2 Ö3)- 9(2 - ) dicht
in 91. Ändert man also die Werte unsrer Funktion f in einer beliebigen abzählbaren Punktmenge ab, so bleibt sie total-unstetig auf 21,
kann also dadurch nicht in eine Funktion höchstens erster Klasse
übergeführt werden.
Satz XIV. Ist {f,} eine Folge auf 1 stetiger Funktionen,
so sind lim f und lim f von höchstens zweiter Klasse auf 2,
W = 00 3 = v(
und zwar ist limf, höchstens eine Funktion g2 und limf,
= QO y = a
höchstens eine Funktion G2.
In der Tat, daß lim f, von höchstens zweiter Klasse ist, ist
(für a- 1) enthalten in ~ 1, Satz XII. Bezeichnet f, k den größten
unter den k + 1 Funktionswerten f, f +i,..., f,+k, so ist fvc
stetig (Kap. II, ~ 3, Satz VIII), und die Folge f^,l, f,2,.., f],,... ist
monoton wachsend. Daher ist
= — lim frk
k=co
höchstens eine Funktion Gl, und mithin, wegen
lim f-= lim fi,
v = 00o v = 00
ist, da {f,} monoton abnimmt, limf4 höchstens eine Funktion g3.
V= 00
Satz XV. Sei f(a, t) für jedes t aus (0, 1) eine auf 2 stetige
Funktion von a, so sind limr f(a, t) und lim f(a, t) von höchstens
t=+o t=+o
zweiter Klasse auf 2, und zwar ist limf(a,t) höchstens eine
t=+O
Funktion g2 und limf(a,t) höchstens eine Funktion G2.
t=+O
Sei in der Tat F(a; t, t) die obere Schranke der Funktions.
werte f(a,t) für alle t aus [t',t"] (bei festgehaltenem a). Wir zeigen
Hahn, Theorie der reellen Funktionen. I. 24