Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

368 Die Baireschen Funktionen.
Daraus folgt nun weiter (wie Satz V und VI in ~ 9):
Satz X. Die Menge 9 aller Punkte der separablen Menge 1,
in denen die beschränkte Funktion f nicht mit der Annäherung s
von erster Klasse auf W ist bei Vernachlässigung abzählbarer
Mengen, ist perfekt in 91.
Satz XI. Damit es auf der separablen Menge 1 eine Funktion
höchstens erster Klasse gebe, die sich von f nur in einer abzählbaren Punktmenge unterscheidet, ist notwendig und hinreichend,
daß es auf jedem (nicht leeren) in 9 perfekten Teile 3 von 9 einen
Punkt gebe, in dem f von erster Klasse auf, ist bei Vernachlässigung abzählbarer Mengen.
Nunmehr können wir zeigen:
Satz XII1). Damit es auf der separablen, relativ-vollständigen
Menge 91 eine Funktion höchstens erster Klasse gebe, die sich von f
nur in einer abzählbaren Punktmenge unterscheidet, ist notwendig
und hinreichend, daß f punktweise unstetig sei bei Vernachlässigung abzählbarer Mengen2) auf jedem in % perfekten Teile von 9.
Die Bedingung ist notwendig: dies folgt unmittelbar aus Satz II.
Die Bedingung ist hinreichend: denn ist sie erfüllt, so gibt es in jedem
in 91 perfekten Teile, von 9 Punkte, in denen f stetig und mithin auch von
erster Klasse ist auf $ bei Vernachlässigung abzählbarer Mengen, und die Behauptung folgt aus Satz XI.
Vermöge Satz V folgt aus Satz XII:
Satz XIII. Ist 1 separabel und relativ-vollständig, und ist f
punktweise unstetig bei Vernachlässigung abzählbarer Mengen auf
jedem in 9 perfekten Teile von 91, so ist f von höchstens zweiter
Klasse auf 9.
Wir haben bisher nur solche Funktionen zweiter Klasse kennen
gelernt, die sich von einer Funktion höchstens erster Klasse nur in
einer abzählbaren Punktmenge unterscheiden. Wir wollen nun zeigen,
daß es auch Funktionen zweiter Klasse gibt, die nicht durch bloße
Abänderung der Werte in einer abzählbaren Punktmenge in eine
Funktion höchstens erster Klasse verwandelt werden können.
Sei zu dem Zwecke 9 eine separable, vollständige, insichdichte
Menge, und sei die abzählbare Menge der Punkte a, (v 1, 2,...)
von 9 dicht in 9. Sei 9, ein den Punkt a, enthaltender, perfekter
und in 9 nirgends dichter Teil von S9 (Kap. I, ~ 8, Satz VIII). Die
Menge
-==,+S, + 94+...
ist höchstens eine Menge B2 in 9. Sie selbst und ihr Komplement
zu 9 sind also höchstens Mengen t. Setzen wir:
1) Auf andrem Wege bewiesen von R. Baire, Ann. di mat. (3) 3
(1899), 75.
2) Kap. III, ~ 7, S. 227.