Theorie der reellen funktionen, von dr. Hans Hahn.

366 Die Baireschen Funktionen.
Wert von h in den abzählbar vielen Punkten erster Art von $
in 0 verwandelt. Und da f total-unstetig ist auf q3, mithin nach
Satz II nicht von höchstens erster Klasse im 9, seih kann, ist f
von zweiter Klasse im 91, wie behauptet.
Auf Grund von Satz V ist es von Interesse, die Funktionen näher zu
betrachten, die sich von einer Funktion höchstens erster Klasse nur in einer
abzählbaren Punktmenge unterscheiden.
Wir definieren: Die auf 91 endliche Funktion f heißt im Punkte a von 91
mit der Annäherung s von erster Klasse auf 91 bei Vernachlässigung abzählbarer Mengen, wenn es eine Umgebung U (a), einen abzählbaren Teil W9 von 9
und eine Funktion f* höchstens erster Klasse auf 1 gibt, so daß:
{f-f*t =e auf 11(a).(9t-9).
Die auf 1 beschränkte Funktion f heißt im Punkte a von 9 von erster
Klasse auf 9 bei Vernachlässigung abzählbarer Mengen, wenn sie für jedes
> 0 im Punkte a mit der Annäherung e von erster Klasse ist auf 91 bei
Vernachlässigung abzählbarer Mengen.
Die beliebige Funktion f heißt im Punkte a von erster Klasse auf 91
bei Vernachlässigung abzählbarer Mengen, wenn die aus ihr durch die Schränkungstransformation entstehende Funktion in a von erster Klasse ist auf 91 bei Vernachlässigung abzählbarer Mengen.
Satz VI. Ist f in jedem Punkte der separablen Menge 91 mit
der Annäherung E von erster Klasse auf 91 bei Vernachlässigung
abzählbarer Mengen, so gibt es eine Funktion F höchstens erster
Klasse auf 91 und einen abzählbaren Teil W von 91, so daß:
(0) If-FIl<e auf 1-W.
In der Tat, zu jedem Punkte a von 91 gibt es eine abgeschlossene Umgebung it (a) in 91, eine Funktion höchstens erster Klasse f* und einen abzählbaren Teil R9a von (a), so daß:
If-f* <e auf U(a)-9a,.
Wieder gibt es (vgl. den Beweis von ~ 9, Satz I) unter diesen U (a) abzählbar
viele U (a,) (v = 1, 2,...), deren Vereinigung 91 ist. Die zugehörigen f* nennen
wir fv, die zugehörigen 97a nennen wir ",. Bilden wir die Funktion F, wie
beim Beweise von ~ 9, Satz I, und setzen:
W = W+, _ 4 —...4-...,
so ist 91 abzählbar, und es gilt (0), womit Satz VI bewiesen ist.
Satz VII. Ist die Funktion f in jedem Punkte der separablen
Menge 91 von erster Klasse auf 91 bei Vernachlässigung abzählbarer Mengen, so unterscheidet sie sich von einer Funktion höchstens erster Klasse auf 91 nur in einer abzählbaren Punktmenge.
Der Beweis ist zunächst derselbe wie für ~ 9, Satz II, nur daß an Stelle
der dortigen Ungleichung (*) nunmehr tritt:
(00) f-F, I e auf 91 -,
wo W9 ein abzählbarer Teil von 91. Dabei können wir annehmen, die F seien
00
so gewählt, daß eSy eigentlich konvergiert.
Uv-1=